Дії над рядами

Матеріал з Вікі ЦДУ
Версія від 16:02, 17 травня 2010; Маргаритка Дроздова (обговореннявнесок)

(різн.) ← Попередня версія • Поточна версія (різн.) • Новіша версія → (різн.)
Перейти до: навігація, пошук

Теорема

Нехай задано 2 ряди Фур’є, які відповідають функціям Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{e}^{ikx}
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\sum^{+\infty}_{m=-\infty} {d}_{m}{e}^{imx}
Тоді коефіцієнти функції добутку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}({f}\cdot{g})
отримуються у вигляді згортки коефіцієнтів  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{k}
i Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {d}_{m}
, тобто Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}
від добутку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}


Доведення.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x)}\cdot{g(x)}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{e}^{ikx}\cdot\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{d}_{m}{e}^{imx}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{c}_{k}{d}_{m}{e}^{i(k+m)x}=


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =[n=k+m; m=n-k]=


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{n=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}{e}^{inx}=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}(\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}){e}^{inx}


Отже: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {C}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}

Теорему доведено Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \blacksquare