Дії над рядами

Ряд Фур'є — спосіб представлення довільної складної функції сумою простіших. В загальному випадку кількість таких функцій може бути нескінченною, при цьому чим більше таких функцій враховується при розрахунку, тим вищою стає кінцева точність представлення даної функції.

Ряди Фур'є застосовні до достатньо широкого класу функцій.

Ряди названі на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є.

Тригонометричним рядом Фур'є називають функційний ряд виду

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{a_0}{2} +\sum_{k=1}^{\infty}{a_k}\cos(kx)+{b_n}\sin(kx)

Комплексна форма ряду Фур'є (на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [-\pi;\pi] )Комплексна форма ряду Фур'є (на проміжку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [-\pi;\pi] )

Означення:

вираз :Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{e}^{ikx}

називається комплексною формою ряда Фур'є функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x) , якщо визначається рівністю

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_k=\frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-{ikx}} dx , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k=0,\pm1,\pm2,...

Перехід від ряду Фур'є в комплексній формі до ряду в дійсній формі і навпаки виконується за допомогою формул:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_k=\frac{a_n-i b_n}{2}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_k=\frac{a_n+i b_n}{2}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_n={c}_{n}+{c}_{-n}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_n=i({c_n}-{c_{-n}})

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n\in{\mathbb{N}}

Означення:{Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_k

}, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): k\in{\mathbb{Z}}

називається комплексним спектром функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
або амплітуди гармонік. 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)\thicksim\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{e}^{ikx}

Дії над рядами

Теорема

Нехай задано 2 ряди Фур’є, які відповідають функціям Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{e}^{ikx}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{d}_{m}{e}^{imx}

Тоді коефіцієнти функції добутку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{n}({f}\cdot{g})

отримуються у вигляді згортки коефіцієнтів  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{k}
i Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {d}_{m}
, тобто Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{n}
від добутку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)
на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}

Доведення.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {f(x)}\cdot{g(x)}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{e}^{ikx}\cdot\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{d}_{m}{e}^{imx}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{m=-\infty}{c}_{k}{d}_{m}{e}^{i(k+m)x}=

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =[n=k+m; m=n-k]=

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): =\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\sum^{+\infty}_{n=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}{e}^{inx}=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}(\sum^{+\infty}_{k=-\infty}{c}_{k}{d}_{n-k}){e}^{inx}

Отже: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{n}({f}\cdot{g})=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{d}_{n-k}

Теорему доведено Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \blacksquare

Теорема

Нехай задано 2 ряди Фур’є, які відповідають функціям Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {c}_{k}{e}^{ikx}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(x)=\sum^{+\infty}_{k=-\infty} {d}_{k}{e}^{ikx}

Тоді функція, яка дорівнює їх сумі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c(x)}={f(x)}+{g(x)}

має такі коефіцієнти ряду Фур'є  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c}_{n}={c}_{k}+{d}_{k}
, тобто:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {c(x)}=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}({c}_{k}+{d}_{k}){e}^{ikx}

Виконала: Дроздова Маргарита Вікторівна