Відмінності між версіями «Стохастична транспортна задача. Неперервний розподіл попиту.»
4696268 (обговорення • внесок) |
|||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| − | Стохастична постановка транспортної задачі, в якій | + | Класичній транспортної задачі і різним її модифікаціям і узагальненям присвячена велика кількість літератури (наприклад, див. [1]). |
| − | Нехай <math>\ y_j=\sum^{m}_{i=1} {x_{ij}} </math> - загальний об’єм продукту, призначеного | + | Стохастична транспортна задача обговорювалася в таких виданнях - [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. |
| + | У додатках значний інтерес представляє стохастична постановка транспортної задачі, в якій передбачаэться, що попит <math>\ b_j=b_j(w) </math> в j-му пункті споживані - випадкова величина. Припустимо спочатку, що попит <math>\ b_j </math> неперервно розподілений з щільністю <math>\ \varphi_j(b_j) </math> [3, 7]. | ||
| + | Нехай <math>\ y_j=\sum^{m}_{i=1} {x_{ij}} </math> - загальний об’єм продукту, призначеного відповідно до плану, складеного до реалізації <math>\ b_j(w) </math>, для i-го пункту споживання. Якщо після встановлення попиту <math>\ b_j(w) </math> з’ясується, що <math>\ y_j<b_j(w) </math> попит не буде задоволений. Збиток, який при цьому буде завдано системі, природно прийняти пропорційним об’єму незадовільного попиту | ||
<math>\ q^{(-)}_j[b_j(w)-y_j] </math>, де <math>\ q^{(-)}_j </math> - збиток (штраф за дефіцит), пов’язаний з нестачею одиниці продукту. В випадку, коли <math>\ y_j>b_j(w) </math> виникає необхідність в зберіганні надлишкового продукту. Нехай при цьому допоміжні витрати системи пропорційні об’єму надлишкового продукту <math>\ q^{(+)}_j[y_j-b_j(w)] </math>, де <math>\ q^{(+)}_j </math> ‒ витрати на зберіганні одиниці продукту. | <math>\ q^{(-)}_j[b_j(w)-y_j] </math>, де <math>\ q^{(-)}_j </math> - збиток (штраф за дефіцит), пов’язаний з нестачею одиниці продукту. В випадку, коли <math>\ y_j>b_j(w) </math> виникає необхідність в зберіганні надлишкового продукту. Нехай при цьому допоміжні витрати системи пропорційні об’єму надлишкового продукту <math>\ q^{(+)}_j[y_j-b_j(w)] </math>, де <math>\ q^{(+)}_j </math> ‒ витрати на зберіганні одиниці продукту. | ||
Математичне сподівання сумарних втрат, пов’язаних з перевезенням продукту, збитком від незадовільного попиту і витрат на зберігання надлишкового продукту, рівно | Математичне сподівання сумарних втрат, пов’язаних з перевезенням продукту, збитком від незадовільного попиту і витрат на зберігання надлишкового продукту, рівно | ||
Версія за 17:13, 18 травня 2020
Класичній транспортної задачі і різним її модифікаціям і узагальненям присвячена велика кількість літератури (наприклад, див. [1]). Стохастична транспортна задача обговорювалася в таких виданнях - [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]. У додатках значний інтерес представляє стохастична постановка транспортної задачі, в якій передбачаэться, що попит Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ b_j=b_j(w)
в j-му пункті споживані - випадкова величина. Припустимо спочатку, що попит Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ b_j неперервно розподілений з щільністю Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \varphi_j(b_j) [3, 7].
Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ y_j=\sum^{m}_{i=1} {x_{ij}}
- загальний об’єм продукту, призначеного відповідно до плану, складеного до реалізації Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ b_j(w)
, для i-го пункту споживання. Якщо після встановлення попиту Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ b_j(w)
з’ясується, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ y_j<b_j(w) попит не буде задоволений. Збиток, який при цьому буде завдано системі, природно прийняти пропорційним об’єму незадовільного попиту
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ q^{(-)}_j[b_j(w)-y_j] , де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ q^{(-)}_j
- збиток (штраф за дефіцит), пов’язаний з нестачею одиниці продукту. В випадку, коли Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ y_j>b_j(w)
виникає необхідність в зберіганні надлишкового продукту. Нехай при цьому допоміжні витрати системи пропорційні об’єму надлишкового продукту Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ q^{(+)}_j[y_j-b_j(w)]
, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ q^{(+)}_j
‒ витрати на зберіганні одиниці продукту.
Математичне сподівання сумарних втрат, пов’язаних з перевезенням продукту, збитком від незадовільного попиту і витрат на зберігання надлишкового продукту, рівно Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x,y)= \sum^{n}_{j=1} \left \{\sum^{m}_{i=1} {c_{ij}x_{ij}} + q^{(+)}_j \int\limits_{0}^{y_j} (y_j-b_j(w)) \varphi_j(b_j) db_j + q^{(-)}_j \int\limits_{y_j}^{\infty} (b_j(w)-y_j) \varphi_j(b_j) db_j \right \}
Цільовий функціонал Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x,y)
стохастичної транспортної задачі – опукла вниз функція змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ y_j
. Дійсно Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x,y)= \sum^{n}_{j=1} \left \{ \sum^{m}_{i=1} {c_{ij}x_{ij}} + f_j(y_j) \right \}
Де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ f_j(y_j)=q^{(+)}_j \int\limits_{0}^{y_j} (y_j-b_j) \varphi_j(b_j) db_j + q^{(-)}_j \int\limits_{y_j}^{\infty} (b_j-y_j) \varphi_j(b_j) db_j
Продиференціюємо двічі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ f_j(y_j)
по Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ y_j
отримаємо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ f^{''}_j(y_j)=(q^{(-)}_j+q^{(+)}_j) \varphi_j(b_j)
При природному припущені Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ q^{(-)}_j+q^{(+)}_j \geq 0
маємо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ f^{''}_j(y_j) \geq 0
. А це означає, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ f_j(y_j) , а разом з нею і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x,y)
- опуклі вниз функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ y_j
.
Таким чином, детермінований еквівалент стохастичної транспортної задачі являє собою задачу опуклого програмування: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x,y) \rightarrow min , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{n}_{j=1} {x_{ij}=a_i} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{m}_{i=1} {x_{ij}=y_j} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum^{n}_{j=1} {y_j} = \sum^{m}_{i=1} {a_i} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{ij} \geq 0 , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y_{ij} \geq 0 , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,...,m; , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): j=1,...,n ,
Виконала: Корнієнко Олександра
