Самоорганізація та структури у нелінійних середовищах

Лінійне хвильове рівняння Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): v_N (t,x,y)=∬v(t,x^',y^;)g_N (x-x^;,y-y^;)dx^' dy^~~-(1.3)

прекрасно описує поширеня звуку, коли його гучність невелика (при цьому швидкість звуку не залежить від гучності).  Якщо звук дуже  голосний, наприклад від вибуху, то може виникнути ударна  хвиля. Її  швидкість залежить  від різниці тисків за хвилею і перед нею. Для опису такої поведінки потрібна формулювати  нелінійну модель. Однак отримання рішення та якісне дослідження нелінійної моделі вимагає інших підходів, оскільки навіть мала нелінійна добавка якісно змінює ситуацію: сума двох рішень вже не задовольняє рівнянню . Принцип суперпозиції «не працює» й «зшити» "спільне рішення з приватних вже не вдається.

Досліджуємо, до яких якісних змін призводить появи ще не лінійності в найпростіших математичних моделях на прикладі рівняння теплопровідності , по виду збігається з рівнянням дифузії (1.10).

 Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}~~~(1.13)

де k> 0 – коефіцієнт теплопровідності, Т> 0 – температура . Воно описує передачу тепла, дифузію частинок, проникнення магнітного поля в плазму і деякі інші процеси. де k> 0 – коефіцієнт теплопровідності, Т> 0 – температура . Воно описує передачу тепла, дифузію частинок, проникнення магнітного поля в плазму і деякі інші процеси. Уявімо, що у нас є комп'ютер з відповідним програмним забезпеченням, який вміє вирішувати різні рівняння . Залишається тільки поставити граничні умови та початкові данні і подивитися, як веде себе рішення. Будемо вважати для простоти, що відрізок нескінченний, - ∞<X <∞, причому Т (х ->∞ ) -> 0. Нехай в початковий момент до високої температури нагрітий маленький ділянку (рис. 1.2, а) . На рис . 1.2, а показані профілі температури в різні моменти часу.
Рис. 1.2. Рішення рівняння теплопровідності [60].
Можна бачити, що максимальна температура знижується за законом А ~ t^(-1/2), на півширина профілю на рівні А / (2L) збільшується до L~t^(-1/2). Це здається зрозумілим: від більш нагрітих ділянок тепло передається менш нагрітих, при цьому темпе- ратура перших зменшується, а друге – підвищується , оскільки кількість тепла залишається незмінним, то АL ~ соnst. Тепер розглянемо середовище, в якому відбувається процес горіння [59, 60 , 67 ].При цьому в правій частині рівняння теплопровідності з'являється новий член, що описує тепловиділення джерел.Будемо вважати, що інтенсивність горіння пропорціональне температурі.Це призводить до лінійного рівняння:
 Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+qT^3,q>0~~~(1.14)

Рішення цього рівняння при тих же початкових умовах представлено на рис. 1.2,б. Як видно, амплітуда А росте, а півширина змінюється за законом L~ t^(-1/2). Таким чином, закономірності дуже схожі. У чому причина? Виявляється, рівняння (1.14) можна привести до виду (1.13), якщо ввести заміну змінної Т * = ехр (qt).
Значить,А ~ ехр (qt) t^(-1/2) що збігається з результами розрахунку. Подивимося, що станеться, якщо джерело нелінійний:
 Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}+qT^3-{{\alpha}T^3},q,{\alpha}>0~~~(1.15)

Нелінійний член описує припинення горіння при більших температурах. Це може бути пов'язано з вигорянням палива або більшої ролі ендотермічних реакцій зі зростанням Т. Рівняння (1.15) виникає не тільки в теорії горіння. З його допомогою моделюють поширення епідемій, проходження імпульсу по нервовому волокну. Подивимося, як виглядають рішення цього рівняння (рис. 1.2, в). Вони разюче відрізняються від того, що ми бачили раніше: виникає теплова хвиля, що розповсюджується з постійною швидкістю зростання, причому амплітуда хвилі прагне до постійного значення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {q/{\alpha}}^1/2 . Але відомо, що бігуща хвиля - це автомоделюваняя рішення виду T*=(±ήt), що зберігає свою форму. Причому в відміну від лінійного рівняння теплопровідності, де існує нескінченний набір власних функцій Т {T1, Т2,…,тут функція Т* тільки одна і визначається властивостя- ми нелінійного середовища(В нелінійних рівняннях власних функцій може надаватися кінцеве число). Роль функції Т* в моделі теплових структурах велика. Вона визначає локалізовані конфігурації в межах справ, в яких процеси йдуть злагоджено. Саме тому її в багатьох роботах називають власної функцією нелінійної середовища. Однак на відміну від лінійних задач вона описує локалізованих процеси і ніяк не пов'язана з крайовими умовами. Наявність джерел і стоків є типовим в так називаються відкритих системах, які на відміну від замкнутих можуть обмінюватися з навколишнім середовищем енергією, речовиною, інформацією. «Забування» початкових даних, тобто прагнення для цілого класу початкових профілів до одного й того ж рішенням характерно для великого класу відкритих нелінійних систем. Причому це рішення часто виявляється автомодельним. Така поведінка говорить про виникнення упорядкованості в системі або про самоорганізацію. Справді, «вихід» на автомодельні рішення означає зменшення числа ступенів свободи і виділення кількох основних (параметрів порядку), до яких підстроюються всі інші. Розглянемо систему з нелінійним коефіцієнтом теплопровідності к і нелінійним джерелом, що володіє наступну властивість: чим більше відхилення від рівноваги, тим швидше йде процес:  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ~\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}(kT^{\sigma}{\frac{\partial T}{\partial x}})+qT^{\beta},k,q,>0,{\beta}>{\sigma}+1~~~(1.16)

Такі моделі характерні для фізики плазми, хімічної кінетики, екології, руйнування пластичності. Система (1.16) має ще більш надзвичайними властивостями. Звернемо увагу на дві принципові відмінності від усіх інших рішень, що обговорювалися вище. Профіль температури виявляється локалізованим всередині деякої області Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_{\lambda}

поза якою Т {х, t} дорівнює нулю (рис. 1.2, г).  З безперервного середовища при цьому виділяються обмежені ділянки, в межах яких і проходить  горіння.  Рішення  існує тільки протягом обмеженого часу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  t_f
 званого часом загострення.  За цей час функція  Т(х, t}  в кінцевій області звертається в нескінченність.

До недавнього часу математики вважали, що такі рівня не представляють особливого інтересу і наявності їх говорить про недосконалість моделі. Проте розвиток фізики плазми, газової динаміки, інших областей призвело до появи змістовних задач, в яких провідними виявляються один або кілька найбільш швидких процесів. Якщо подивитися уважно на рівня, то виявляється, що профілі температури в процесі еволюції залишаються подібними собі.Виникає питання: чи не визначаються і вони автомодельних рішеннями? Дійсно, на розвиненій стадії (коли виділяється багато більше тепла, ніж в початковий момент часу) процес горіння описується формулою Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): T=g(t)f(x/{\varphi(t)})~~~(1.17)

Тут g(t) визначає закон зростання амплітуди,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\varphi(t)}

- півширини, f- форму профілю, g(t) ->∞  при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t→t_f
; g,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\varphi}
функції статечного виду:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): g(t)-(t-t_f)^{(-1/({\beta}-1)},{\varphi}(t)-(t-t_f)^{({\beta}-{\sigma}-1)/({\beta}-1)}.

Звернемо увагу на те, що в межах області локалізації горіння відбувається узгоджено в різних точках простору. Вихід на рішення виду (1.17) говорить про спонтанне виникнення впорядкованості, про формування локалізованих структур. Для цієї нелінійної середовища також характерно «забування» деталей початкових даних, що в деякому розумінні парадоксально. У середовищі, де є тільки горіння і теплопровідність — діссіпітивний процес, пов'язаний з розсіюванням енергії і зазвичай знищуючий всяку впорядкованість, - виникають структури, зберігаючі свої форми. Щоб підкреслити незвичність цього явища, їх називають дисипативних структурами. Познайомимося детальніше з тепловими структурами. Ясно, що у них є дві важливі характеристики - час їхнього життя t(f) і область локалізації Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_{\lambda} . Якщо в середовищі незалежно розвиваються дві локалізовані структури з різними часами загострення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): f_f2>f_f1 , то практично горіння відбувається на характерних часах Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): t_f1

,тільки в першій, і завмирає в другій структурі.            
 Реально живуть в одному світі тільки структури з однаковим  часом загострення . Якщо спробувати об'єднати декілька структур так, щоб їх області локалізації перетиналися, структури починають взаємодіяти, виникає хвиля горіння складної форми, що сходиться до центру. Проте ця форма з зростанням температури змінюється ,і в кінці кінців залишається одна проста палаюча структура. Виникає питання ,чи можна побудувати складні структури, що зберігають у процесі еволюції свою форму. Проблема набору форм, укладеного в різних середовищах, є дуже глибокою. І для древніх філософів, і для багатьох фізиків-теоретиків, що займаються елементарними частинами, характерно уявлення про складні набори структур, які  потенційно укладені в середовищі. Деякі з них зустрічаються  часто, інші можуть з'являтися тільки в певних умовах. Однак і ті, й інші характеризують глибокі внутрішні властивості системи.

Подивимося на власні функції нелінійної середовища з другої точки зору. Початкові умови можна розглядати як впливу на нашу систему. Нехай задача полягає в тому, щоб створити в середовищі складну структуру бажаної організації. Виявляється, що для її вирішення досить задати початковий профіль температури малої амплітуди, узгоджений з власними функціями нелінійної середовища. Для того щоб вплив на нелінійну систему був ефективним, він повинен бути узгодженим з її внутрішніми властивостями. Такий вплив, навіть будучи слабким, виявиться дієвіше, ніж в тисячі разів сильніше, але не узгоджене з властивостями системи.