Одноетапні стохастичні задачі з лінійними розв’язувальними правилами. М-модель та V-модель.

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук

    Розглянемо наступну М-модель стохастичного програмування з ймовірнісними обмеженнями:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ M(cx) \rightarrow max , (1.1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ P \left \{ \sum^{n}_{j=1} a_{ij}x_j \right \} \geq p_{i}, i=1,...,m . (1.2)

    Умови Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x \geq 0

припускаються включеними у систему нерівностей (1.2) з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ p_{i}=1 

.

Будемо вважати матрицю Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ A=||a_{ij}||

детермінованою, а вектори b і c незалежними випадковими векторами. Компоненти кожного із цих векторів можуть бути корелбованими між собою. Наступні обчислення будемо вести, припускаючи, що складові векторо обмежень b розподілені нормально.

Задамо розв'язувальне правило у вигляді

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x=Db , (1/3)

де D - невідома детермінована матриця розміру Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ n \times m .

Знайти розв'язки задачі (1.1)-(1.3) - означає очислити елементи Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ d_{ij}

матриці D.

Перетворимо запис задачі (1.1)-(1.3). Підставимо (1.3) у виразі для показника якості (1.1) розв'язку задачі. Враховуючи статистичну незалежність векторів c і b, маємо

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M(cx)=\overline{cx}=\overline{cDb}=\sum^m_{i=1} \sum^n_{j=1}d_{ij}\bar{b_i}\bar{c_i} ,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{c}

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{b} 
- математичні очікування векторів c і b.

Зведемо тепер умови (1.2) до еквівалентного детермінованого вигляду. Позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ a_i=(a_{i1},...,a_{in})

i-ту вектор-строку матриці А і введемо випадкову змінну Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta_i 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta_i=\frac{(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})}{\sqrt{M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2}} .

Легко бачити, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \bar{\zeta}_i=M \zeta_i=0

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \sigma^2_{\zeta_i}=M(\zeta_i-\bar{\zeta}_i)^2=1  

,

тобто випадкові величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta_i

мають нульові математичні сподівання і одиничні дисперсії.

Неважко впевнитися безпосередніми обчисленнями, що умови Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \sum^n_{j=1}a_{ij}x_j \le b_i , або, що те ж саме у припущенні (1.3), Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ a_iDb \le b_i

еквівалентні співвідношенням

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta_i \ge \zeta^0_i=\frac{-\bar{b}_i+a_iD\bar{b}}{\sqrt{M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2}} . (1.4)

Тому умови (1.2) можуть бути замінені нерівностями вигляду

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P( \zeta_i \ge \zeta^0_i) \le p_i, i=1,2,...,m . (1/5)

Випадкові величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta_i

як лінійні комбінації нормально розподілених випадкових величин розподілені нормально. Тому співвідношення (1.5) еквівалентні нерівностям 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{\zeta^0_i}^\infty e^{-t^2/2}dt \ge p_i , або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ 1-\Phi (\zeta^0_i) \ge p_i ,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \Phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{\zeta^0_i}^\infty e^{-t^2/2}dt

- функція Лапласа.

Останню нерівність можна переписати у вигляді

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta^0_i \le \Phi^{-1}(1-p_i)=-k_i . (1.6)

При Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p_i>1/2

(а тільки цей випадок і становить інтерес у практичних задачах) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ k_i>0 

.

За прийнятих припущень числа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ k_i

залежать тільки від заданих ймовірностей Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ p_i 
і не залежать від елементів шуканої матриці D.

Підставимо вираз для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta^0_i

із (1.4) у нерівність (1.6). Отримаємо наступний запис обмежень вихідної задачі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \bar{b}_i-a_iD\bar{b} \ge k_i \sqrt{M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2} .

Введемо додаткові змінні Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z_i , такі, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \bar{b}_i-a_iD\bar{b} \ge z_i \ge k_i \sqrt{M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2} .

Останнє співвідношення еквівалентно системі нерівностей

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ a_iD\bar{b}+z_i \le \bar{b}_i , (1.7)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ -k_i^2M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2+z_i^2 \ge 0 , (1.8)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z_i \ge 0 , (1.9)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ i=1,2,...,m .