Відмінності між версіями «Одноетапні стохастичні задачі з лінійними розв’язувальними правилами. М-модель та V-модель.»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
Рядок 72: Рядок 72:
  
 
<math>\ i=1,2,...,m </math>.
 
<math>\ i=1,2,...,m </math>.
 +
 +
Кожна з умов виду (1.7) визначає півпростір у просторі змінних <math>\ d_{ij} </math> і <math>\ z_i (i=1,2,...,m, j=1,2,...,n)</math>. Перетин цих півпросторів для <math>\ i=1,2,...,m </math> відповідає опуклій багатогранній множині. Можна довести, що про кожному <math>\ i=1 </math> пара умов вигляду (1.8), (1.9) висікає у просторі змінних <math>\ d_{ij} </math> і <math>\ z_i</math> опуклу множину. Ця множина являє собою "верхню" (у сенсі осі <math>\ z_i</math>) порожнину двополосного гіперболоїда. Таким чином, умови (1.7)-(1.9) висікають у просторі змінних <math>\ d_{ij} </math> і <math>\ z_i </math> опуклу множину. Ми прийшли до задачі опуклого програмування. Перепишемо її у більш компактному вигляді. Введемо позначення
 +
 +
<math>\ \mu_i(D)=M(b_i-a_iDb) </math> , (1.10)
 +
 +
<math>\ \sigma_i^2(D)=M(b_i-a_iDb)^2 </math>, (1.11)
 +
 +
<math>\ i=1,2,...,m </math>.
 +
 +
У цих позначеннях задача опуклого програмування - детермінований еквівалент задачі (1.1) - (1.3) - приймає вигляд
 +
 +
<math>\ \bar{c}D\bar{b} \rightarrow max </math>, (1.12)
 +
 +
<math>\ \mu_i(D)-z_i\ge0 </math>, (1.13)
 +
 +
<math>\ k_i^2[\mu_i^2(D)-\sigma_i^2(D)]+z_i^2 \ge 0 </math>, (1.14)
 +
 +
<math>\ z_i\ge0, i=1,2,...,m </math>. (1.15)

Версія за 18:37, 24 січня 2013

    Розглянемо наступну М-модель стохастичного програмування з ймовірнісними обмеженнями:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ M(cx) \rightarrow max , (1.1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ P \left \{ \sum^{n}_{j=1} a_{ij}x_j \right \} \geq p_{i}, i=1,...,m . (1.2)

    Умови Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x \geq 0 

припускаються включеними у систему нерівностей (1.2) з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ p_{i}=1

.

Будемо вважати матрицю Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ A=||a_{ij}|| 

детермінованою, а вектори b і c незалежними випадковими векторами. Компоненти кожного із цих векторів можуть бути корелбованими між собою. Наступні обчислення будемо вести, припускаючи, що складові векторо обмежень b розподілені нормально.

Задамо розв'язувальне правило у вигляді

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x=Db , (1/3)

де D - невідома детермінована матриця розміру Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ n \times m .

Знайти розв'язки задачі (1.1)-(1.3) - означає очислити елементи Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ d_{ij} 

матриці D.

Перетворимо запис задачі (1.1)-(1.3). Підставимо (1.3) у виразі для показника якості (1.1) розв'язку задачі. Враховуючи статистичну незалежність векторів c і b, маємо

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M(cx)=\overline{cx}=\overline{cDb}=\sum^m_{i=1} \sum^n_{j=1}d_{ij}\bar{b_i}\bar{c_i} ,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{c} 

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{b} 
- математичні очікування векторів c і b.

Зведемо тепер умови (1.2) до еквівалентного детермінованого вигляду. Позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ a_i=(a_{i1},...,a_{in}) 

i-ту вектор-строку матриці А і введемо випадкову змінну Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta_i

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta_i=\frac{(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})}{\sqrt{M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2}} .

Легко бачити, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \bar{\zeta}_i=M \zeta_i=0 

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \sigma^2_{\zeta_i}=M(\zeta_i-\bar{\zeta}_i)^2=1

,

тобто випадкові величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta_i 

мають нульові математичні сподівання і одиничні дисперсії.

Неважко впевнитися безпосередніми обчисленнями, що умови Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \sum^n_{j=1}a_{ij}x_j \le b_i , або, що те ж саме у припущенні (1.3), Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ a_iDb \le b_i 

еквівалентні співвідношенням

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta_i \ge \zeta^0_i=\frac{-\bar{b}_i+a_iD\bar{b}}{\sqrt{M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2}} . (1.4)

Тому умови (1.2) можуть бути замінені нерівностями вигляду

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P( \zeta_i \ge \zeta^0_i) \le p_i, i=1,2,...,m . (1/5)

Випадкові величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta_i 

як лінійні комбінації нормально розподілених випадкових величин розподілені нормально. Тому співвідношення (1.5) еквівалентні нерівностям

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{\zeta^0_i}^\infty e^{-t^2/2}dt \ge p_i , або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ 1-\Phi (\zeta^0_i) \ge p_i ,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \Phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{\zeta^0_i}^\infty e^{-t^2/2}dt 

- функція Лапласа.

Останню нерівність можна переписати у вигляді

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta^0_i \le \Phi^{-1}(1-p_i)=-k_i . (1.6)

При Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p_i>1/2 

(а тільки цей випадок і становить інтерес у практичних задачах) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ k_i>0

.

За прийнятих припущень числа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ k_i 

залежать тільки від заданих ймовірностей Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ p_i 
і не залежать від елементів шуканої матриці D.

Підставимо вираз для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta^0_i 

із (1.4) у нерівність (1.6). Отримаємо наступний запис обмежень вихідної задачі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \bar{b}_i-a_iD\bar{b} \ge k_i \sqrt{M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2} .

Введемо додаткові змінні Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z_i , такі, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \bar{b}_i-a_iD\bar{b} \ge z_i \ge k_i \sqrt{M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2} .

Останнє співвідношення еквівалентно системі нерівностей

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ a_iD\bar{b}+z_i \le \bar{b}_i , (1.7)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ -k_i^2M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2+z_i^2 \ge 0 , (1.8)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z_i \ge 0 , (1.9)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ i=1,2,...,m .

Кожна з умов виду (1.7) визначає півпростір у просторі змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ d_{ij} 

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z_i (i=1,2,...,m, j=1,2,...,n)

. Перетин цих півпросторів для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ i=1,2,...,m 

відповідає опуклій багатогранній множині. Можна довести, що про кожному Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ i=1 
пара умов вигляду (1.8), (1.9) висікає у просторі змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ d_{ij} 
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z_i
опуклу множину. Ця множина являє собою "верхню" (у сенсі осі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z_i

) порожнину двополосного гіперболоїда. Таким чином, умови (1.7)-(1.9) висікають у просторі змінних Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ d_{ij} 

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z_i 
опуклу множину. Ми прийшли до задачі опуклого програмування. Перепишемо її у більш компактному вигляді. Введемо позначення

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \mu_i(D)=M(b_i-a_iDb) 

, (1.10)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \sigma_i^2(D)=M(b_i-a_iDb)^2 , (1.11)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ i=1,2,...,m .

У цих позначеннях задача опуклого програмування - детермінований еквівалент задачі (1.1) - (1.3) - приймає вигляд

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \bar{c}D\bar{b} \rightarrow max , (1.12)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \mu_i(D)-z_i\ge0 , (1.13)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ k_i^2[\mu_i^2(D)-\sigma_i^2(D)]+z_i^2 \ge 0 , (1.14)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z_i\ge0, i=1,2,...,m . (1.15)

Отримано з https://wiki.cusu.edu.ua/index.php?title=Одноетапні_стохастичні_задачі_з_лінійними_розв’язувальними_правилами._М-модель_та_V-модель.&oldid=83546