Відмінності між версіями «Одноетапні стохастичні задачі з лінійними розв’язувальними правилами. М-модель та V-модель.»
| Рядок 35: | Рядок 35: | ||
Неважко впевнитися безпосередніми обчисленнями, що умови <math>\ \sum^n_{j=1}a_{ij}x_j \le b_i </math>, або, що те ж саме у припущенні (1.3), <math>\ a_iDb \le b_i </math> еквівалентні співвідношенням | Неважко впевнитися безпосередніми обчисленнями, що умови <math>\ \sum^n_{j=1}a_{ij}x_j \le b_i </math>, або, що те ж саме у припущенні (1.3), <math>\ a_iDb \le b_i </math> еквівалентні співвідношенням | ||
| − | <math>\ \zeta_i \ge \zeta^0_i=\frac{-\bar{b}_i+a_iD\bar{b}}{\sqrt{M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2}} </math> | + | <math>\ \zeta_i \ge \zeta^0_i=\frac{-\bar{b}_i+a_iD\bar{b}}{\sqrt{M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2}} </math>. (1.4) |
| + | |||
| + | Тому умови (1.2) можуть бути замінені нерівностями вигляду | ||
| + | |||
| + | <math> P( \zeta_i \ge \zeta^0_i) \le p_i, i=1,2,...,m </math>. (1/5) | ||
| + | |||
| + | Випадкові величини <math> \zeta_i </math> як лінійні комбінації нормально розподілених випадкових величин розподілені нормально. Тому співвідношення (1.5) еквівалентні нерівностям | ||
| + | |||
| + | <math>\ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{\zeta^0_i}^\infty e^{-t^2/2}dt \ge p_i </math>, або <math>\ 1-\Phi (\zeta^0_i) \ge p_i </math>, | ||
| + | |||
| + | де <math>\ \Phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{\zeta^0_i}^\infty e^{-t^2/2}dt </math> - функція Лапласа. | ||
| + | |||
| + | Останню нерівність можна переписати у вигляді | ||
| + | |||
| + | <math> \zeta^0_i \le \Phi^{-1}(1-p_i)=-k_i </math>. (1.6) | ||
| + | |||
| + | При <math> p_i>1/2 </math> (а тільки цей випадок і становить інтерес у практичних задачах) <math>\ k_i>0 </math>. | ||
Версія за 17:58, 19 січня 2013
Розглянемо наступну М-модель стохастичного програмування з ймовірнісними обмеженнями:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ M(cx) \rightarrow max , (1.1)
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ P \left \{ \sum^{n}_{j=1} a_{ij}x_j \right \} \geq p_{i}, i=1,...,m . (1.2)
Умови Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x \geq 0
припускаються включеними у систему нерівностей (1.2) з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ p_{i}=1
.
Будемо вважати матрицю Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ A=||a_{ij}||
детермінованою, а вектори b і c незалежними випадковими векторами. Компоненти кожного із цих векторів можуть бути корелбованими між собою. Наступні обчислення будемо вести, припускаючи, що складові векторо обмежень b розподілені нормально.
Задамо розв'язувальне правило у вигляді
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x=Db , (1/3)
де D - невідома детермінована матриця розміру Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ n \times m .
Знайти розв'язки задачі (1.1)-(1.3) - означає очислити елементи Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ d_{ij}
матриці D.
Перетворимо запис задачі (1.1)-(1.3). Підставимо (1.3) у виразі для показника якості (1.1) розв'язку задачі. Враховуючи статистичну незалежність векторів c і b, маємо
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M(cx)=\overline{cx}=\overline{cDb}=\sum^m_{i=1} \sum^n_{j=1}d_{ij}\bar{b_i}\bar{c_i} ,
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{c}
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{b}
- математичні очікування векторів c і b.
Зведемо тепер умови (1.2) до еквівалентного детермінованого вигляду. Позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ a_i=(a_{i1},...,a_{in})
i-ту вектор-строку матриці А і введемо випадкову змінну Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta_i
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta_i=\frac{(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})}{\sqrt{M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2}} .
Легко бачити, що
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \bar{\zeta}_i=M \zeta_i=0
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \sigma^2_{\zeta_i}=M(\zeta_i-\bar{\zeta}_i)^2=1
,
тобто випадкові величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta_i
мають нульові математичні сподівання і одиничні дисперсії.
Неважко впевнитися безпосередніми обчисленнями, що умови Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \sum^n_{j=1}a_{ij}x_j \le b_i , або, що те ж саме у припущенні (1.3), Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ a_iDb \le b_i
еквівалентні співвідношенням
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \zeta_i \ge \zeta^0_i=\frac{-\bar{b}_i+a_iD\bar{b}}{\sqrt{M[(b_i-\bar{b}_i)-a_iD(b-\bar{b})]^2}} . (1.4)
Тому умови (1.2) можуть бути замінені нерівностями вигляду
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P( \zeta_i \ge \zeta^0_i) \le p_i, i=1,2,...,m . (1/5)
Випадкові величини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta_i
як лінійні комбінації нормально розподілених випадкових величин розподілені нормально. Тому співвідношення (1.5) еквівалентні нерівностям
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{\zeta^0_i}^\infty e^{-t^2/2}dt \ge p_i , або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ 1-\Phi (\zeta^0_i) \ge p_i ,
де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \Phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int\limits_{\zeta^0_i}^\infty e^{-t^2/2}dt
- функція Лапласа.
Останню нерівність можна переписати у вигляді
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta^0_i \le \Phi^{-1}(1-p_i)=-k_i . (1.6)
При Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p_i>1/2
(а тільки цей випадок і становить інтерес у практичних задачах) Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ k_i>0
.
