Відмінності між версіями «Одноетапна Р-модель з імовірнісними обмеженнями. Постановка задачі та умови сумісності.»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
Рядок 7: Рядок 7:
  
 
Необхідно визначити <math> x(\omega)\in X </math>, який максимізує ймовірність попадання в <math>G_{0}(\omega) </math> при умові, що ймовірність попадання в <math>G_i (\omega, i=1,2,\ldots,m), </math> не менше заданого  числа <math>\alpha_{i}</math>. Таким чином, в самій постановці задачі ми припускаємо, що розв’язок знаходиться у вигляді випадкового вектора і  розв’язувальне правило заздалегідь не задано.
 
Необхідно визначити <math> x(\omega)\in X </math>, який максимізує ймовірність попадання в <math>G_{0}(\omega) </math> при умові, що ймовірність попадання в <math>G_i (\omega, i=1,2,\ldots,m), </math> не менше заданого  числа <math>\alpha_{i}</math>. Таким чином, в самій постановці задачі ми припускаємо, що розв’язок знаходиться у вигляді випадкового вектора і  розв’язувальне правило заздалегідь не задано.
 +
 
Формально задача записується в наступному вигляді:
 
Формально задача записується в наступному вигляді:
 
    
 
    
 
<math> P\left \{ x(\omega) \in G_{0} (\omega)\right \} \to sup </math> (15.1)
 
<math> P\left \{ x(\omega) \in G_{0} (\omega)\right \} \to sup </math> (15.1)
 
<br> <math>    P\left \{ x(\omega) \in G_{i} (\omega) \right \}  \ge \alpha_{i},i=1,2,\ldots,m.    </math>                  (15.2)
 
<br> <math>    P\left \{ x(\omega) \in G_{i} (\omega) \right \}  \ge \alpha_{i},i=1,2,\ldots,m.    </math>                  (15.2)
<br> Введемо характеристичні функції множин <math> G_i (\omega)</math>:
+
 
 +
Введемо характеристичні функції множин <math> G_i (\omega)</math>:
 
<br><math> \psi_{i}(\omega, x) =  \begin{cases}  1, & \mbox{if } x  \in  G_{i} (\omega)  \\ 0, & \mbox{if } x  \notin  G_{i} (\omega)    \end{cases} </math>       
 
<br><math> \psi_{i}(\omega, x) =  \begin{cases}  1, & \mbox{if } x  \in  G_{i} (\omega)  \\ 0, & \mbox{if } x  \notin  G_{i} (\omega)    \end{cases} </math>       
 
<br>Тоді  
 
<br>Тоді  
Рядок 20: Рядок 22:
 
<br> <math> \int_{ \Omega}\psi_{i}(\omega, x )dp \ge \alpha_{i},i=1,2,\ldots,m. </math>  
 
<br> <math> \int_{ \Omega}\psi_{i}(\omega, x )dp \ge \alpha_{i},i=1,2,\ldots,m. </math>  
  
<br> Принципова схема рішення не залежить від числа обмежень завдання. Однак зі збільшенням m трудомісткість обчислень дуже швидко зростає. Тому всі наступні міркування проводяться для <math> m = 2.</math>  
+
Принципова схема рішення не залежить від числа обмежень завдання. Однак зі збільшенням m трудомісткість обчислень дуже швидко зростає. Тому всі наступні міркування проводяться для <math> m = 2.</math>  
 
<br>15.2. Сформулюємо умови сумісності задачі (15.1) - (15.2). Введемо два множини
 
<br>15.2. Сформулюємо умови сумісності задачі (15.1) - (15.2). Введемо два множини
 
<br> <math> \Omega' = \left \{ \omega: G_{1} (\omega)\cap G_{2} (\omega)\ne \emptyset \right \} , </math>
 
<br> <math> \Omega' = \left \{ \omega: G_{1} (\omega)\cap G_{2} (\omega)\ne \emptyset \right \} , </math>
 
<br><math> \Omega''  = \left \{ \omega: G_{1} (\omega)\cap G_{2} (\omega)= \emptyset \right \} . </math>
 
<br><math> \Omega''  = \left \{ \omega: G_{1} (\omega)\cap G_{2} (\omega)= \emptyset \right \} . </math>
<br>'''Теорема 15.1.''' Для того, сумісності задачі (15.1)- (15.2) при (<math>  m=2</math>) необхідно і достатньо, щоб
+
 
 +
'''Теорема 15.1.''' Для того, сумісності задачі (15.1)- (15.2) при (<math>  m=2</math>) необхідно і достатньо, щоб
 
<br> <math> \begin{cases} \alpha_{1}\le 1, \alpha_{2} \le 1 \\ \alpha_{1}+ \alpha_{2} =P \Omega' \le 2  \end{cases} </math>
 
<br> <math> \begin{cases} \alpha_{1}\le 1, \alpha_{2} \le 1 \\ \alpha_{1}+ \alpha_{2} =P \Omega' \le 2  \end{cases} </math>
<br> '''Доведення. а) Необхідність.''' Перші два нерівності очевидні. Перевіримо останнє. Нехай задача (15.1) - (15.2) сумісна, тобто для деякої функції  <math>  x(\omega)</math>  виконані умови (15.2). Тоді
+
 
 +
'''Доведення. а) Необхідність.''' Перші два нерівності очевидні. Перевіримо останнє. Нехай задача (15.1) - (15.2) сумісна, тобто для деякої функції  <math>  x(\omega)</math>  виконані умови (15.2). Тоді
 
<br><math> P\left \{ x \in G_{i} \right \}=P\left \{ x \in G_{i}\setminus G_{j} \right \} +P\left \{ x \in G_{1}\cap G_{2} \right \};(i,j=1,2;i \ne j)  </math>
 
<br><math> P\left \{ x \in G_{i} \right \}=P\left \{ x \in G_{i}\setminus G_{j} \right \} +P\left \{ x \in G_{1}\cap G_{2} \right \};(i,j=1,2;i \ne j)  </math>
 
<br> <math> \alpha_{1} + \alpha_{2} + P \Omega'' \le P \left \{ x \in G_{1} \right \} +  P \left \{ x \in G_{2} \right \} +  P \Omega'' + P \left \{ x \in G_{1} \setminus G_{2} \right \} + P \left \{ x \in G_{1} \cap G_{2} \right \}+ P \left \{ x \in G_{2} \setminus G_{2} \right \}</math>
 
<br> <math> \alpha_{1} + \alpha_{2} + P \Omega'' \le P \left \{ x \in G_{1} \right \} +  P \left \{ x \in G_{2} \right \} +  P \Omega'' + P \left \{ x \in G_{1} \setminus G_{2} \right \} + P \left \{ x \in G_{1} \cap G_{2} \right \}+ P \left \{ x \in G_{2} \setminus G_{2} \right \}</math>
Рядок 32: Рядок 36:
 
<br>  Події, що відповідають першим трьом складовим, попарно несумісні. Те ж відноситься до подій, відповідним останнім двом подіям. Тому
 
<br>  Події, що відповідають першим трьом складовим, попарно несумісні. Те ж відноситься до подій, відповідним останнім двом подіям. Тому
 
<br> <math> \alpha_{1} + \alpha_{2} + P \Omega'' \le 2 .</math>
 
<br> <math> \alpha_{1} + \alpha_{2} + P \Omega'' \le 2 .</math>
<br> '''б) Достатність'''. Нехай виконані умови теореми
+
 
 +
'''б) Достатність'''. Нехай виконані умови теореми
 
<br><math> \alpha_{1} + \alpha_{2} + P \Omega'' \le 2(P \Omega'+P \Omega'') </math>
 
<br><math> \alpha_{1} + \alpha_{2} + P \Omega'' \le 2(P \Omega'+P \Omega'') </math>
 
або  <math> (\alpha_{1} - P \Omega')+(\alpha_{2} - P \Omega') \le P \Omega'', </math>
 
або  <math> (\alpha_{1} - P \Omega')+(\alpha_{2} - P \Omega') \le P \Omega'', </math>
Рядок 38: Рядок 43:
 
<br> <math> x(\omega) = \begin{cases} G_{1}(\omega)\cap G_{2}(\omega), \omega \in \Omega'  \\ G_{1}(\omega), \omega \in \Omega''_{1} \\ G_{2}(\omega), \omega \ in \Omega''_{2} \end{cases} </math>
 
<br> <math> x(\omega) = \begin{cases} G_{1}(\omega)\cap G_{2}(\omega), \omega \in \Omega'  \\ G_{1}(\omega), \omega \in \Omega''_{1} \\ G_{2}(\omega), \omega \ in \Omega''_{2} \end{cases} </math>
 
<br> задовольняє умовам (15.2) розглядуваної задачі.
 
<br> задовольняє умовам (15.2) розглядуваної задачі.
 +
 
<br> Виконала: [[Користувач:Боженко Альбіна|Боженко Альбіна]]
 
<br> Виконала: [[Користувач:Боженко Альбіна|Боженко Альбіна]]
 
<br> Доповнювала: [[Користувач:Неділько Аліна|Неділько Аліна ]]
 
<br> Доповнювала: [[Користувач:Неділько Аліна|Неділько Аліна ]]

Версія за 23:40, 10 травня 2019

Будемо, як і раніше, позначати через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \omega

 стан природи (елементарна подія), а через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \Omega 
– множину станів природи (елементарних подій). Нехай для кожного Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \omega \in  \Omega 
на деякій множині Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  X 
довільної структури задані множини   Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  G_{0}(\omega)
  (Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_{0} (\omega) \ne 0  

) і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_{i} (\omega) i=1,\ldots,m.


Випадкові множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_{i} (\omega) (i=0,1,\ldots,m)

можуть  бути задані системами рівнянь и нерівностей із випадковими параметрами або будь-яким іншим способом.

Розглянемо наступну досить загальну Р-модель х ймовірнісними обмеженнями.

Необхідно визначити Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x(\omega)\in X , який максимізує ймовірність попадання в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_{0}(\omega)

при умові, що ймовірність попадання в Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_i (\omega, i=1,2,\ldots,m), 
не менше заданого  числа Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_{i}

. Таким чином, в самій постановці задачі ми припускаємо, що розв’язок знаходиться у вигляді випадкового вектора і розв’язувальне правило заздалегідь не задано.

Формально задача записується в наступному вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\left \{ x(\omega) \in G_{0} (\omega)\right \} \to sup

(15.1)


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\left \{ x(\omega) \in G_{i} (\omega) \right \} \ge \alpha_{i},i=1,2,\ldots,m.

                  (15.2)

Введемо характеристичні функції множин Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): G_i (\omega)


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \psi_{i}(\omega, x) = \begin{cases} 1, & \mbox{if } x \in G_{i} (\omega) \\ 0, & \mbox{if } x \notin G_{i} (\omega) \end{cases}


Тоді
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\left \{ x(\omega) \in G_{i} (\omega) \right \} = \int_{ \Omega}\psi_{i}(\omega, x(\omega))dp


де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p

 - ймовірнісна міра, яка визначає ймовірнісний простір Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  (\Omega,\sum, p) 
. Будемо, як і раніше, припускати, що міра Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  p 
неперервна.


Задача (15.1) - (15.2) набуває вигляду:
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_{ \Omega}\psi_{0}(\omega, x )dp \to sup ,


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \int_{ \Omega}\psi_{i}(\omega, x )dp \ge \alpha_{i},i=1,2,\ldots,m.


Принципова схема рішення не залежить від числа обмежень завдання. Однак зі збільшенням m трудомісткість обчислень дуже швидко зростає. Тому всі наступні міркування проводяться для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m = 2.


15.2. Сформулюємо умови сумісності задачі (15.1) - (15.2). Введемо два множини
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega' = \left \{ \omega: G_{1} (\omega)\cap G_{2} (\omega)\ne \emptyset \right \} ,


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega'' = \left \{ \omega: G_{1} (\omega)\cap G_{2} (\omega)= \emptyset \right \} .


Теорема 15.1. Для того, сумісності задачі (15.1)- (15.2) при (Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): m=2 ) необхідно і достатньо, щоб
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{cases} \alpha_{1}\le 1, \alpha_{2} \le 1 \\ \alpha_{1}+ \alpha_{2} =P \Omega' \le 2 \end{cases}


Доведення. а) Необхідність. Перші два нерівності очевидні. Перевіримо останнє. Нехай задача (15.1) - (15.2) сумісна, тобто для деякої функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x(\omega)

 виконані умови (15.2). Тоді


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P\left \{ x \in G_{i} \right \}=P\left \{ x \in G_{i}\setminus G_{j} \right \} +P\left \{ x \in G_{1}\cap G_{2} \right \};(i,j=1,2;i \ne j)


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_{1} + \alpha_{2} + P \Omega'' \le P \left \{ x \in G_{1} \right \} + P \left \{ x \in G_{2} \right \} + P \Omega'' + P \left \{ x \in G_{1} \setminus G_{2} \right \} + P \left \{ x \in G_{1} \cap G_{2} \right \}+ P \left \{ x \in G_{2} \setminus G_{2} \right \}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): +P \left \{ x \in G_{1} \cap G_{2} \right \}+P \left \{ G_{1} \cap G_{2}= \emptyset \right \}


Події, що відповідають першим трьом складовим, попарно несумісні. Те ж відноситься до подій, відповідним останнім двом подіям. Тому
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_{1} + \alpha_{2} + P \Omega'' \le 2 .


б) Достатність. Нехай виконані умови теореми
Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_{1} + \alpha_{2} + P \Omega'' \le 2(P \Omega'+P \Omega'')

або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (\alpha_{1} - P \Omega')+(\alpha_{2} - P \Omega') \le P \Omega'',


тобто Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega''

можна розбити на дві множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \Omega''_{1}
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Omega''_{2}
таким чином, щоб Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \alpha_{1}-P \Omega' \le  P \Omega''_{i},i=1,2.
Функція


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x(\omega) = \begin{cases} G_{1}(\omega)\cap G_{2}(\omega), \omega \in \Omega' \\ G_{1}(\omega), \omega \in \Omega''_{1} \\ G_{2}(\omega), \omega \ in \Omega''_{2} \end{cases}


задовольняє умовам (15.2) розглядуваної задачі.


Виконала: Боженко Альбіна
Доповнювала: Неділько Аліна