Задача з імовірнісними обмеженнями. Детермінований аналог для довільного розподілу випадкового вектора b.

Матеріал з Вікі ЦДПУ
Перейти до: навігація, пошук

Зведення задачі стохастичного програмування до еквівалентної детермінованої задачі є ефективним засобом аналізу стохастичних моделей лише в тих випадках, коли детерміновані еквіваленти виявляються задачами лінійного або опуклого програмування.

Крім того, не всі задачі опуклого програмування пристосовані до використання ряду відомих ефективних методів розв'язку. Застосування таких методів опуклого програмування, як методи можливих напрямків, метод січних площин і інших методів, пов'язаних з обчисленням градієнтів функцій, що визначають обмеження задачі, припускає опуклість кожної із цих функцій у відповідну сторону (залежно від знака нерівності).

Приведемо деякі класи лінійних стохастичних задач із імовірнісними обмеженнями, для яких детерміновані еквіваленти являють собою задачі опуклого програмування. Покажемо також, як вони можуть бути перетворені до виду, зручного для використання ефективних методів розв'язку.

Вже була розглянута лінійна стохастична задача з імовірнісними обмеженнями в 5 пункті, у якій випадковими були тільки незалежні між собою складові вектора b:

 M(cx)\to \max,

P(\sum^{n}_{j=1}{a_{ij}x_{j}}\leqslant b_{i}) \geqslant \alpha_i,     i=1, 2, \ldots,m,

 x_j\geqslant 0, j=1, 2, \ldots,n.

Еквівалентна детермінована задача у цьому випадку виявилася лінійною:

 \overline{c}x \to \max,

 Ax\leqslant \tilde{b},

 x\geqslant 0.

Трохи складніше ситуація в тому випадку, коли імовірнісне обмеження задане у формі (б),

 P(Ax \geqslant b) \geqslant \alpha,  0 \leqslant \alpha \leqslant  1,

навіть якщо при цьому окремі компоненти вектора  b незалежні між собою. Еквівалентна детермінована задача в цьому випадку формулюється наступним чином. Вимагається обчислити детерміновані вектори  x  і  g(x) (або  x і  \tilde{b} ), при яких

 \overline{c}x \to \max,

 F_{x}(g(x))=F_{x}(Ax- \tilde {b})=\alpha,

 g(x) = Ax- \tilde{b} , x \geqslant  0.

Тут

 F_{x}(Ax- \tilde{b})= P \{ Ax-b<Ax- \tilde{b} \} = P \{b> \tilde {b} \}.

У випадку, коли складові  b_i вектора  b - незалежні випадкові величини,

 P \{b \geqslant \tilde {b} \} = \prod_{i =1}^m P \{b_i \geqslant  \tilde{b_i} \} = \prod_{i =1}^m [1-P \{b_i <  \tilde{b_i}) ] = \prod_{i =1}^m [1- F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}}) ],

де  F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}}) - функція розподілу компоненти  b_i вектора  b .

Еквівалентна детермінована задача при цьому набуває вигляду:

 \overline{c}x \to \max,

 Ax\leqslant \tilde{b},

 \prod_{i =1}^m [1- F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}}) ] \geqslant \alpha,

 x\geqslant 0.


Виконав: Олійник Артем Олександрович

Доповнювала: Татьяненко Марина Олександрівна