Задача СП: P-модель з імов. обмеж. з нормально розподіленими коефіц. цільвої функції, випадк. матрицею коефіц. обмежень. Детер. еквів. Приклад

Матеріал з Вікі ЦДПУ
Перейти до: навігація, пошук

Стохастичні задачі, в яких оптимізують ймовірність перевищення лінійної форми деякого порогу P\{cx \geq c^0 x^0\} називають Р-моделями. В цю групу також включають задачі, де потрібно мінімізувати поріг k, який не перевищує лінійної форми cx з заданою ймовірністю α:

k \to min, P\{cx \leq k\}=\alpha

Еквівалентна детермінована задача дещо ускладняється, якщо замінити показник якості розв’язку стохастичної задачі і замість максимізації M(cx) використати мінімізацію границі при умові, що

P\{\sum_{j=0}^n\ c_j x_j \leq k\}=\alpha_0

Будемо вважати при цьому, що випадкові коефіцієнти c_j розподілені нормально з математичним сподіванням c_j і кореляційною матрицею c=\parallel c_ij\parallel, де
c_{ij}=M(c_i - \bar{c_j})(c_j - \bar{c_j})

При прийнятих припущеннях про розподілення коефіцієнтів c_j лінійна форма cx є нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням \sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j і дисперсією \sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j:
cx \in N \{\sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j \sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j \}

Тому співвідношення (1) може бути переписане в іншому вигляді.


Звідси видно, що мінімізація k при умові (1) еквівалентна мінімізації
k= \sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j + F^{-1} (a_0) \sqrt{\sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j}

При a_0=0,5K є випуклою вниз функцією x.

Таким чином, при зроблених припущеннях задачі СП
k \to min, P\{cx \leq k\}=\alpha_0

Відповідає детермінований еквівалент
k= \sum_{j=0}^n\ \bar{c_j} x_j + F^{-1} (a_0) \sqrt{\sum_{i,j=1}^n\ c_{ij} x_i x_j} \to min        (2)

Задача (2) є задачею випуклого програмування. Для її розв’язку може бути використаний метод січних площин або один з варіантів методу можливих напрямків.
Необхідно звернути увагу, що при  a_0<5    F^{-1} (a_0 )<0 , і цільова функція k (2) являє собою опуклу вгору функцію компонент вектора x. В цьому випадку задача (2) є багато екстремальною. Однак задача максимізації k при умові (2) знову виявляється задачею опуклого програмування. Розглянемо приклад. Потрібно обчислити детермінований вектор x, для вирішення наступної стохастичної задачі:


k \to max,

P(x_j x_1 + c_2 x_2 \leq k)=0,37,

P(3x_1 + 2x_2 \leq b_1) \geq 0,9,

P(-x_1 + 4x_2 \leq b_2) \geq 0,9,

x_1, x_2 \geq 0.

c_1, c_2 і  b_1, b_2 – дві нормально розподілені незалежні між собою пари випадкових величин з математичними очікуваннями
 \bar{c} = (-1,2) і  \bar{b} = (3,3)
з кореляційними матрицями


\parallel c_ij\parallel = \parallel (10 20 7 7)\parallel

\parallel b_ij\parallel = \parallel (1 0 0 1)\parallel

Детермінований еквівалент цієї задачі буде мати такий вигляд:


k=-x_1+2x_2-0,33    \sqrt{10x_1^2+14x_1 x_2+20x_2^2 }\to max,

3x_1-2x_2\leq2,72,

-x_1+4x_2\leq2,72,

x_1,x_2\geq0.

Оптимальни значеннями отриманої задачі опуклого програмування є

x^*=(0;0,68); k^*=0,346.

Виконала: Сандирєва Марина
Доповнював: Ізовіта Олесь