Відмінності між версіями «Детерм. аналог для довільного розподілу вип. вектора b: нормальний розподіл, розподіл Вейбулла, рівномірний розподіл, гамма-розподіл.»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
Рядок 40: Рядок 40:
 
<math> \frac{d}{d\tilde{b}_i} \gamma(\tilde{b_{i}})=\frac{d}{d\tilde{b}_i} \ln[1-F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})]=-\frac{\varphi_i^{(1)}(y_i)}{1-\Phi_i(\tilde{b}_i)} </math>
 
<math> \frac{d}{d\tilde{b}_i} \gamma(\tilde{b_{i}})=\frac{d}{d\tilde{b}_i} \ln[1-F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})]=-\frac{\varphi_i^{(1)}(y_i)}{1-\Phi_i(\tilde{b}_i)} </math>
  
 +
де <math> \varphi_{i}^{(1)}(y_i)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_i} e^{-\frac{(\tilde{b}_i-\mu_i)^2}{2\sigma_i^2}}</math>,
 +
<math> \Phi_i(\tilde{b}_i)= \int\limits_{-\infty}^{\tilde{b_{i}}} e^{-\frac{(y_i-\mu_i)^2}{2\sigma_i^2}} </math>
  
 +
Маємо:
  
 +
<math> \frac{d^2}{d\tilde{b}_i^2} \gamma(\tilde{b_{i}})=-\frac{\varphi_i^{(1)}(y_i)\Theta_i(\tilde{b}_i)}{[1-\Phi_i(\tilde{b}_i)]^2} </math>
 +
 +
де <math>\Theta_i(\tilde{b}_i)=-\frac{\tilde{b}_i-\mu_i}{\sigma_i^2}[1-\Phi_i(\tilde{b}_i)]+\varphi_i^{(1)}(\tilde{b}_i)  </math>
 +
 +
Легко побачити, що
 +
 +
<math>\frac{d\Theta_i(\tilde{b}_i)}{d\tilde{b}_i}=-\frac{1-\Phi_i(\tilde{b}_i)}{\sigma_i^2}<0 </math>
 +
 +
тобто, спадна функція від <math> \tilde{b}_i </math>. Але <math>\Theta_i(\infty)=0 </math>. Тому <math>\Theta_i(\tilde{b}_i)\geqslant 0 </math> і <math>\frac{d^2}{d\tilde{b}_i^2}\gamma(\tilde{b}_i)\leqslant 0 </math>, що і необхідно було довести.
 +
 +
 +
 +
Для розподілу Вейбула маємо:
 +
 +
<math> F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})= \int\limits_{-\infty}^{\tilde{b_{i}}} \varphi_{i}^{(2)}(y_i)dy_i=\begin{cases}
 +
1-e^{-\lambda_i(\tilde{b_{i}}-\beta_i)^{\zeta_i}},\tilde{b_{i}}\geqslant \beta_i\\
 +
0, \tilde{b_{i}}<\beta_i
 +
\end{cases}</math>
 +
 +
Тому <math> \frac{d^2}{d\tilde{b}_i^2} \gamma(\tilde{b_{i}})=\begin{cases}
 +
-\zeta_i(\zeta_i-1)\lambda_i(\tilde{b}_i-\beta_i)^{\zeta_i-2},\tilde{b_{i}}\geqslant \beta_i\\
 +
0, \tilde{b_{i}}<\beta_i
 +
\end{cases}</math>
  
  
  
 
Виконав: [[Користувач:Олійник_Артем|Олійник Артем Олександрович]]
 
Виконав: [[Користувач:Олійник_Артем|Олійник Артем Олександрович]]

Версія за 18:45, 11 квітня 2013

Розглянемо випадок, коли щільності розподілів складових Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_i

вектора обмежень визначаються однією з наступних функцій:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 1) \varphi_{i}^{(1)}(y_i)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_i} e^{-\frac{(y_i-\mu_i)^2}{2\sigma_i^2}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 2) \varphi_{i}^{(2)}(y_i)=\begin{cases} \lambda_i\zeta_i(y_i-\beta_i)^{\zeta_i-1}e^{-\lambda_i(y_i-\beta_i)^{\zeta_i}},y_i\geqslant \beta_i\\ 0, y_i<\beta_i \end{cases}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta_i\geqslant 1, \lambda\geqslant 0;


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 3) \varphi_{i}^{(3)}(y_i)=\begin{cases} \frac{n_i}{\overline{a}_i-\underline{a}_i}(\frac{y_i-\underline{a}_i}{\overline{a}_i-\underline{a}_i})^{n_i-1},y_i \in [\overline{a}_i,\underline{a}_i]\\ 0, y_i \overline{\in} [\overline{a}_i,\underline{a}_i] \end{cases}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 4) \varphi_{i}^{(4)}(y_i)=\begin{cases} \frac{\lambda_i}{\Gamma(\zeta_i)}(\lambda_i y_i)^{\zeta_i-1}e^{-\lambda_i y_i},y_i\geqslant 0\\ 0, y_i<0 \end{cases}


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta_i\geqslant 1, \lambda\geqslant 0;


Щільність розподілу 1) відповідає нормальному закону. Формула 2) відповідає розподілу Вейбулла. Розподіл 3) включає рівномірний розподіл (Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n_i=1 ). Щільність 4) визначає гамма-розподіл. Формули 2) і 4) включають експоненційний розподіл (Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \zeta_i=1 ).

У всіх цих випадках розглянута задача – задача опуклого програмування. Однак ліві частини обмежень Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \prod_{i =1}^m [1- F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}}) ] \geqslant \alpha

– не є опуклими вверх функціями. Замінимо цю умову на еквівалентну нерівність:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{i=1}^m \ln[1-F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})] \geqslant \ln(\alpha)


Ця заміна дозволяє перейти для всіх вищезазначених розподілів до еквівалентних детермінованих задач, у яких ліві частини обмежень – лінійні та опуклі вверх функції.

Доведемо це твердження для розподілів 1) і 2). Твердження буде доведене, якщо буде встановлена нерівність:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{d^2}{d\tilde{b}_i^2} \gamma(\tilde{b_{i}})=\frac{d^2}{d\tilde{b}_i^2} \ln[1-F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})] \leqslant 0


де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})= \int\limits_{-\infty}^{\tilde{b_{i}}} \varphi_{i}(y_i)dy_i


Для нормального розподілу 1) маємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{d}{d\tilde{b}_i} \gamma(\tilde{b_{i}})=\frac{d}{d\tilde{b}_i} \ln[1-F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})]=-\frac{\varphi_i^{(1)}(y_i)}{1-\Phi_i(\tilde{b}_i)}


де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \varphi_{i}^{(1)}(y_i)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_i} e^{-\frac{(\tilde{b}_i-\mu_i)^2}{2\sigma_i^2}} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Phi_i(\tilde{b}_i)= \int\limits_{-\infty}^{\tilde{b_{i}}} e^{-\frac{(y_i-\mu_i)^2}{2\sigma_i^2}}


Маємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{d^2}{d\tilde{b}_i^2} \gamma(\tilde{b_{i}})=-\frac{\varphi_i^{(1)}(y_i)\Theta_i(\tilde{b}_i)}{[1-\Phi_i(\tilde{b}_i)]^2}


де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Theta_i(\tilde{b}_i)=-\frac{\tilde{b}_i-\mu_i}{\sigma_i^2}[1-\Phi_i(\tilde{b}_i)]+\varphi_i^{(1)}(\tilde{b}_i)


Легко побачити, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{d\Theta_i(\tilde{b}_i)}{d\tilde{b}_i}=-\frac{1-\Phi_i(\tilde{b}_i)}{\sigma_i^2}<0


тобто, спадна функція від Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \tilde{b}_i . Але Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Theta_i(\infty)=0 . Тому Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Theta_i(\tilde{b}_i)\geqslant 0

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{d^2}{d\tilde{b}_i^2}\gamma(\tilde{b}_i)\leqslant 0 

, що і необхідно було довести.


Для розподілу Вейбула маємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{b_{i}}(\tilde{b_{i}})= \int\limits_{-\infty}^{\tilde{b_{i}}} \varphi_{i}^{(2)}(y_i)dy_i=\begin{cases} 1-e^{-\lambda_i(\tilde{b_{i}}-\beta_i)^{\zeta_i}},\tilde{b_{i}}\geqslant \beta_i\\ 0, \tilde{b_{i}}<\beta_i \end{cases}


Тому Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{d^2}{d\tilde{b}_i^2} \gamma(\tilde{b_{i}})=\begin{cases} -\zeta_i(\zeta_i-1)\lambda_i(\tilde{b}_i-\beta_i)^{\zeta_i-2},\tilde{b_{i}}\geqslant \beta_i\\ 0, \tilde{b_{i}}<\beta_i \end{cases}



Виконав: Олійник Артем Олександрович