Відмінності між версіями «Детермінована задача, еквівалентна до двохетапної задачі СП.»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
Рядок 12: Рядок 12:
 
<math> P(x, A, b)=\min_{\ y}q(y)  (3.4)</math>
 
<math> P(x, A, b)=\min_{\ y}q(y)  (3.4)</math>
  
<math>  By=b-Ax, (3.5)</math>
+
<math>  By=b-Ax  (3.5)</math>,
  
 
<math> y \geqslant 0 (3.6)</math>
 
<math> y \geqslant 0 (3.6)</math>
Рядок 28: Рядок 28:
 
За теоремою двоїстості для лінійного програмування  
 
За теоремою двоїстості для лінійного програмування  
  
<math> P(x, A, b)=Q(x, A, b)=z*(A, b, x)(b-Ax) </math>,
+
<math> P(x, A, b)= Q(x, A, b)= z*(A, b, x)(b-Ax) </math>,
  
 
де ''z*(A, b, x)'' - розв'язок задачі (3.8)-(3.9).
 
де ''z*(A, b, x)'' - розв'язок задачі (3.8)-(3.9).
Рядок 45: Рядок 45:
  
 
Теорема 4.1. Нехай матриця ''B'' задовольняє умовам теореми 3.3 і множина планів задачі (3.8)-(3.90) не порожня. Тоді цільова функція (4.1) еквівалентної детермінованої задачі скінченна для будь-якого <math> x \in K_2</math>.
 
Теорема 4.1. Нехай матриця ''B'' задовольняє умовам теореми 3.3 і множина планів задачі (3.8)-(3.90) не порожня. Тоді цільова функція (4.1) еквівалентної детермінованої задачі скінченна для будь-якого <math> x \in K_2</math>.
 +
 +
Наступне твердження є теоретичною основою для побудови чисельних методів розв'язання двохетапної задачі.
 +
 +
Теорема 4.2. Детермінована задача (4.1)-(4.2), еквівалентна двохетапній задачі (1.8)-(1.10), є задачею опуклого програмування.
 +
 +
Зауважимо, що з опуклості функції ''Q(x)'' випливає її неперервність у всіх внутрішніх точках опуклої множини ''К''.
 +
 +
Для побудови методів розв'язання двохетапної задачі доцільно знайти вираз для опорного функціоналу до ''Q(x)'' і встановити умови диференційованості ''Q(x)''.
 +
 +
Нагадаємо, що лінійний функціонал ''l'' називається опорним для опуклого вниз функціоналу <math> \phi (\lambda)</math> (субградієнтом до <math> \phi (\lambda)</math>) у точці <math> \lambda_0 \in \Lambda</math>

Версія за 19:22, 13 квітня 2013

Побудуємо детерміновану задачу, еквівалентну до двохетапної задачі стохастичного програмування. Розв'язко еквівалентної задачі є попередній план х. По складовим оптимального попереднього плану і реалізаціям ппараметрів умов будується задача другого етапу - задача лінійного програмування, розв'язок якої визначає необхідну компенсацію плану.

Еквівалентна детермінована задача має вигляд Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{x\in K}Q(x) .

Дотепер ми вивчали область визначення K попередніх планів двохетапної задачі. Дослідимо тепер цільовий функціонал Q(x) - показник якості попереднього плану.

Виразимо Q(x) через статистичні характеристики параметрів умов задачі і доведемо, що детермінована задача, еквівалентна задачі СП, є задачею опуклого програмуваня.

Розглянемо задачу другого етапу

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(x, A, b)=\min_{\ y}q(y) (3.4)


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): By=b-Ax (3.5) ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y \geqslant 0 (3.6)


та двоїсту до неї

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x, A, b)=\max_{\ z}z(b-Ax) (3.8)


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): zB \leqslant q

(3.9)

для кожного x, A, b.

Будемо вважати, що задача другого етапу, а отже, і двоїста до неї задачі розв'язні.

За теоремою двоїстості для лінійного програмування

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(x, A, b)= Q(x, A, b)= z*(A, b, x)(b-Ax) ,

де z*(A, b, x) - розв'язок задачі (3.8)-(3.9).

Враховуючи введені позначення, можна тепер двохетапну задачу (1.8)-(1.10) переписати наступним чином:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{x\in K}Q(x)=\min_{x\in K}{\bar{c}x+MQ(x, A, b)}


або

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{c}x+M[z*(A, b, x)(b-Ax)]\rightarrow min,

(4.1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x \in K


Має місце твердження.

Теорема 4.1. Нехай матриця B задовольняє умовам теореми 3.3 і множина планів задачі (3.8)-(3.90) не порожня. Тоді цільова функція (4.1) еквівалентної детермінованої задачі скінченна для будь-якого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x \in K_2 .

Наступне твердження є теоретичною основою для побудови чисельних методів розв'язання двохетапної задачі.

Теорема 4.2. Детермінована задача (4.1)-(4.2), еквівалентна двохетапній задачі (1.8)-(1.10), є задачею опуклого програмування.

Зауважимо, що з опуклості функції Q(x) випливає її неперервність у всіх внутрішніх точках опуклої множини К.

Для побудови методів розв'язання двохетапної задачі доцільно знайти вираз для опорного функціоналу до Q(x) і встановити умови диференційованості Q(x).

Нагадаємо, що лінійний функціонал l називається опорним для опуклого вниз функціоналу Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi (\lambda)

(субградієнтом до Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \phi (\lambda)

) у точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda_0 \in \Lambda