Відмінності між версіями «Детермінована задача, еквівалентна до двохетапної задачі СП.»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
Рядок 1: Рядок 1:
<font size=3> Побудуємо детерміновану задачу, еквівалентну до двохетапної задачі стохастичного програмування. Розв'язком еквівалентної задачі є попередній план ''х''. По складовим оптимального попереднього плану і реалізаціям ппараметрів умов будується задача другого етапу - задача лінійного програмування, розв'язок якої визначає необхідну компенсацію плану.</font>  
+
<font size=3> Побудуємо детерміновану задачу, еквівалентну до двохетапної задачі стохастичного програмування. Розв'язком еквівалентної задачі є попередній план <math>\ х </math>. По складовим оптимального попереднього плану і реалізаціям ппараметрів умов будується задача другого етапу - задача лінійного програмування, розв'язок якої визначає необхідну компенсацію плану.</font>  
  
 
<font size=3> Еквівалентна детермінована задача має вигляд </font>
 
<font size=3> Еквівалентна детермінована задача має вигляд </font>
 
<math> \min_{x\in K}Q(x) </math>.
 
<math> \min_{x\in K}Q(x) </math>.
  
<font size=3> Дотепер ми вивчали область визначення ''K'' попередніх планів двохетапної задачі. Дослідимо тепер цільовий функціонал ''Q(x)'' - показник якості попереднього плану.</font>
+
<font size=3> Дотепер ми вивчали область визначення <math>\ K </math> попередніх планів двохетапної задачі. Дослідимо тепер цільовий функціонал <math>\ Q(x) </math> - показник якості попереднього плану.</font>
  
<font size=3> Виразимо <math>\ ''Q(x)'' )</math> через статистичні характеристики параметрів умов задачі і доведемо, що детермінована задача, еквівалентна задачі СП, є задачею опуклого програмуваня.</font>
+
<font size=3> Виразимо <math>\ Q(x) </math> через статистичні характеристики параметрів умов задачі і доведемо, що детермінована задача, еквівалентна задачі СП, є задачею опуклого програмуваня.</font>
  
 
<font size=3> '''Розглянемо задачу другого етапу'''</font>
 
<font size=3> '''Розглянемо задачу другого етапу'''</font>
Рядок 22: Рядок 22:
 
<math> zB \leqslant q</math> (3.9)
 
<math> zB \leqslant q</math> (3.9)
  
<font size=3> для кожного ''x, A, b''. </font>
+
<font size=3> для кожного <math>\ x, A, b </math>. </font>
  
 
<font size=3> Будемо вважати, що задача другого етапу, а отже, і двоїста до неї задачі розв'язні.</font>
 
<font size=3> Будемо вважати, що задача другого етапу, а отже, і двоїста до неї задачі розв'язні.</font>
Рядок 30: Рядок 30:
 
<math>\ P(x, A, b)= Q(x, A, b)= z*(A, b, x)(b-Ax) </math>,
 
<math>\ P(x, A, b)= Q(x, A, b)= z*(A, b, x)(b-Ax) </math>,
  
<font size=3> де ''z*(A, b, x)'' - розв'язок задачі (3.8)-(3.9).</font>
+
<font size=3> де <math>\ z*(A, b, x) </math> - розв'язок задачі (3.8)-(3.9).</font>
  
 
<font size=3> Враховуючи введені позначення, можна тепер двохетапну задачу (1.8)-(1.10) переписати наступним чином:</font>
 
<font size=3> Враховуючи введені позначення, можна тепер двохетапну задачу (1.8)-(1.10) переписати наступним чином:</font>
Рядок 44: Рядок 44:
 
<font size=3> Має місце твердження.</font>  
 
<font size=3> Має місце твердження.</font>  
  
<font size=3> '''Теорема 4.1.''' Нехай матриця ''B'' задовольняє умовам теореми 3.3 і множина планів задачі (3.8)-(3.90) не порожня. Тоді цільова функція (4.1) еквівалентної детермінованої задачі скінченна для будь-якого <math> x \in K_2</math>. </font>
+
<font size=3> '''Теорема 4.1.''' Нехай матриця <math>\ B </math> задовольняє умовам теореми 3.3 і множина планів задачі (3.8)-(3.90) не порожня. Тоді цільова функція (4.1) еквівалентної детермінованої задачі скінченна для будь-якого <math> x \in K_2</math>. </font>
  
 
<font size=3> Наступне твердження є ''теоретичною основою'' для побудови чисельних методів розв'язання двохетапної задачі. </font>
 
<font size=3> Наступне твердження є ''теоретичною основою'' для побудови чисельних методів розв'язання двохетапної задачі. </font>
Рядок 50: Рядок 50:
 
<font size=3> '''Теорема 4.2.''' Детермінована задача (4.1)-(4.2), еквівалентна двохетапній задачі (1.8)-(1.10), є задачею опуклого програмування. </font>
 
<font size=3> '''Теорема 4.2.''' Детермінована задача (4.1)-(4.2), еквівалентна двохетапній задачі (1.8)-(1.10), є задачею опуклого програмування. </font>
  
<font size=3> Зауважимо, що з опуклості функції ''Q(x)'' випливає її неперервність у всіх внутрішніх точках опуклої множини ''К''. </font>
+
<font size=3> Зауважимо, що з опуклості функції <math>\ Q(x) </math> випливає її неперервність у всіх внутрішніх точках опуклої множини <math>\ К''. </font>
  
<font size=3> Для побудови методів розв'язання двохетапної задачі доцільно знайти вираз для опорного функціоналу до ''Q(x)'' і встановити умови диференційованості ''Q(x)''. </font>
+
<font size=3> Для побудови методів розв'язання двохетапної задачі доцільно знайти вираз для опорного функціоналу до <math>\ Q(x) </math> і встановити умови диференційованості <math>\ Q(x) </math>. </font>
  
<font size=3> Нагадаємо, що лінійний функціонал ''l'' називається опорним для опуклого вниз функціоналу <math>\ \phi (\lambda)</math> (субградієнтом до <math>\ \phi (\lambda)</math>) у точці <math> \lambda_0 \in \Lambda</math>, якщо <math> \phi (\lambda)-\phi (\lambda_0) \geq (l, \lambda-\lambda_0)</math> при всіх <math> \lambda \in \Lambda </math>. </font>
+
<font size=3> Нагадаємо, що лінійний функціонал <math>\ l'' називається опорним для опуклого вниз функціоналу <math>\ \phi (\lambda)</math> (субградієнтом до <math>\ \phi (\lambda)</math>) у точці <math> \lambda_0 \in \Lambda</math>, якщо <math> \phi (\lambda)-\phi (\lambda_0) \geq (l, \lambda-\lambda_0)</math> при всіх <math> \lambda \in \Lambda </math>. </font>
 
   
 
   
 
<font size=3> '''Теорема 4.3.''' Функціонал </font>
 
<font size=3> '''Теорема 4.3.''' Функціонал </font>
Рядок 62: Рядок 62:
 
<font size=3> є опорним до цільового функціоналу (4.1) еквівалентної детермінованої задачі у точці <math> x_0 \in K </math>. </font>
 
<font size=3> є опорним до цільового функціоналу (4.1) еквівалентної детермінованої задачі у точці <math> x_0 \in K </math>. </font>
  
<font size=3> '''Доведення'''. Функція ''z^*(A, b, x)'' за означенням є розв'язком задачі (3.8)-(3.9) для заданого <math> x \in K</math> і фіксованого ''A'' i ''b''. Звідси, </font>
+
<font size=3> '''Доведення'''. Функція <math>\ z^*(A, b, x)'' за означенням є розв'язком задачі (3.8)-(3.9) для заданого <math> x \in K</math> і фіксованого <math>\ A </math> i <math>\ b </math>. Звідси, </font>
  
 
<math> cx+z^*(A, b, x)(b-Ax) \geq cx+z^*(a, b, x_0)(b-Ax) </math>,
 
<math> cx+z^*(A, b, x)(b-Ax) \geq cx+z^*(a, b, x_0)(b-Ax) </math>,
Рядок 88: Рядок 88:
 
<font size=3> що й треба було довести. </font>
 
<font size=3> що й треба було довести. </font>
  
<font size=3> Якщо виконуються умови теореми 4.1 і ймовірнісна міра у просторі ''A'', ''b'' абсолютно неперервні відносно міри Лебега у просторі ''A'', ''b'', (тобто ймовірність попасти у шар достатньо малого радіуса скільки завгодно мала), то цільова функція ''Q(x)'' еквівалентної детермінованої задачі всюди на ''K'' неперервно диференційована. </font>
+
<font size=3> Якщо виконуються умови теореми 4.1 і ймовірнісна міра у просторі <math>\ A </math>, <math>\ b </math> абсолютно неперервні відносно міри Лебега у просторі <math>\ A </math>, <math>\ b </math>, (тобто ймовірність попасти у шар достатньо малого радіуса скільки завгодно мала), то цільова функція <math>\ Q(x)</math> еквівалентної детермінованої задачі всюди на <math>\ K'' неперервно диференційована. </font>

Версія за 20:23, 22 березня 2014

Побудуємо детерміновану задачу, еквівалентну до двохетапної задачі стохастичного програмування. Розв'язком еквівалентної задачі є попередній план Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ х . По складовим оптимального попереднього плану і реалізаціям ппараметрів умов будується задача другого етапу - задача лінійного програмування, розв'язок якої визначає необхідну компенсацію плану.

Еквівалентна детермінована задача має вигляд Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{x\in K}Q(x) .

Дотепер ми вивчали область визначення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ K

попередніх планів двохетапної задачі. Дослідимо тепер цільовий функціонал Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x) 
- показник якості попереднього плану.

Виразимо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x)

через статистичні характеристики параметрів умов задачі і доведемо, що детермінована задача, еквівалентна задачі СП, є задачею опуклого програмуваня.

Розглянемо задачу другого етапу

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): P(x, A, b)=\min_{\ y}q(y) (3.4)


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ {By=b-Ax} (3.5) ,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y \geqslant 0 (3.6)


та двоїсту до неї

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x, A, b)=\max_{\ z}z(b-Ax) (3.8)


Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): zB \leqslant q

(3.9)

для кожного Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x, A, b .

Будемо вважати, що задача другого етапу, а отже, і двоїста до неї задачі розв'язні.

За теоремою двоїстості для лінійного програмування

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ P(x, A, b)= Q(x, A, b)= z*(A, b, x)(b-Ax) ,

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z*(A, b, x)

- розв'язок задачі (3.8)-(3.9).

Враховуючи введені позначення, можна тепер двохетапну задачу (1.8)-(1.10) переписати наступним чином:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min_{x\in K}Q(x)=\min_{x\in K}{\bar{c}x+MQ(x, A, b)}


або

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \bar{c}x+M[z*(A, b, x)(b-Ax)]\rightarrow min,

(4.1)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x \in K


Має місце твердження.

Теорема 4.1. Нехай матриця Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ B

задовольняє умовам теореми 3.3 і множина планів задачі (3.8)-(3.90) не порожня. Тоді цільова функція (4.1) еквівалентної детермінованої задачі скінченна для будь-якого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  x \in K_2

.

Наступне твердження є теоретичною основою для побудови чисельних методів розв'язання двохетапної задачі.

Теорема 4.2. Детермінована задача (4.1)-(4.2), еквівалентна двохетапній задачі (1.8)-(1.10), є задачею опуклого програмування.

Зауважимо, що з опуклості функції Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x)

випливає її неперервність у всіх внутрішніх точках опуклої множини Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ К''. </font>  <font size=3> Для побудови методів розв'язання двохетапної задачі доцільно знайти вираз для опорного функціоналу до <math>\ Q(x) 
і встановити умови диференційованості Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x) 

.

Нагадаємо, що лінійний функціонал Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ l'' називається опорним для опуклого вниз функціоналу <math>\ \phi (\lambda)

(субградієнтом до Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ \phi (\lambda)

) у точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \lambda_0 \in \Lambda , якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \phi (\lambda)-\phi (\lambda_0) \geq (l, \lambda-\lambda_0)

при всіх Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \lambda \in \Lambda 

.

Теорема 4.3. Функціонал

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): M{c-z^*(A, b, x_0)A}=\int\limits_{\Omega}{c(\omega)-z^*[A(\omega), b(\omega), x_0]A(\omega)}dp


є опорним до цільового функціоналу (4.1) еквівалентної детермінованої задачі у точці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_0 \in K .

Доведення. Функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ z^*(A, b, x)'' за означенням є розв'язком задачі (3.8)-(3.9) для заданого <math> x \in K

і фіксованого Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ A 
i Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ b 

. Звідси,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): cx+z^*(A, b, x)(b-Ax) \geq cx+z^*(a, b, x_0)(b-Ax) ,

або, що те ж саме,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [c-z^*(A, b, x)A]x+z^*(A, b, x)b \geq [c-z^*(A, b, x)A]x+z^*(A, b, x_0)b .

За означенням

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x)=\bar{c}x+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x)(b-Ax)dp .

Тому з останньої рівності випливає, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x) \geq \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]xdp+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x_0)bdp .

З іншої сторони,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x_0) = \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]x_0dp+\int\limits_{\Omega}z^*(A, b, x_0)bdp .

Звідси випливає, що

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Q(x)-Q(x_0)\geq \int\limits_{\Omega}[c-z^*(A, b, x_0)A]xdp \cdot (x-x_0) , (4.3)

що й треба було довести.

Якщо виконуються умови теореми 4.1 і ймовірнісна міра у просторі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ A , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ b

абсолютно неперервні відносно міри Лебега у просторі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ A 

, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ b , (тобто ймовірність попасти у шар достатньо малого радіуса скільки завгодно мала), то цільова функція Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ Q(x)

еквівалентної детермінованої задачі всюди на Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ K'' неперервно диференційована. </font>