Рівняння Нерозривності

Елементарний об`єм в 3D

Спираючись на закон збереження маси, отримаємо рівняння нерозривності, яке замикає систему рівнянь Ейлера.
Припустимо, що рідина рухається без виникнення пустот. Виділимо елементарний об’єм.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p\cdot V\cdot dx\cdot dy

- маса рідини, яка витікає з грань Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \textbf{\textit{xz}}

.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [pV+dy\cdot \frac{\partial(pV)}{dy}]dx\cdot dz

- маса рідини, яка витікає з Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \textbf{\textit{xz}}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial(pV)}{dy}

- приріст Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \textbf{\textit{pV}}

Вздовж осі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \textbf{\textit{Oy}}

маса рідини змінилася на величину:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \begin{cases} \frac{\partial(pV)}{dy}dx\cdot dy\cdot dz\\ \frac{\partial(pW)}{dz}dx\cdot dy\cdot dz\\ \frac{\partial(pU)}{dx}dx\cdot dy\cdot dz\end{cases}

Приріст маси:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [\frac{\partial(pU)}{dx}+\frac{\partial(pV)}{dy}+\frac{\partial(pW)}{dz}]dx\cdot dy\cdot dz

З іншого боку, приріст маси може отриматись за рахунок змінної густини

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dm=-\frac{\partial p}{\partial t}dx\cdot dy\cdot dz

Отже, можна отримати рівняння нерозривності у одному з виглядів

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial(pU)}{dx}+\frac{\partial(pV)}{dy}+\frac{\partial(pW)}{dz}=-\frac{\partial p}{\partial t}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial p}{\partial t}+div\quad p\overrightarrow{V}=0

за умови, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p\neq const .

Припустимо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): p=const , тоді рівняння нерозривності

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): div \vec{V}=0

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial z}=0

Це рівняння доповнює систему рівнянь Ейлера до замкнутої системи чотирьох рівнянь відносно чотирьох невідомих функцій.