Розв’язок рівняння Лапласа у циліндричних координатах. Рівняння Беселя

Матеріал з Вікі ЦДПУ
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Лапласа

Рівняння Лапласа - однорідне лінійне рівняння в частинних похідних другого порядку еліптичного типу.

 \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 .

Рівняння Лапласа описує електростатичне поле в просторі без електричних зарядів. Рівнянням Лапласа описується стаціонарний розподіл температури у просторовому тілі.

Функції, які задовільняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними.

Відповідне неоднорідне рівняння називається рівнянням Пуассона.

Рівняння Лапласа - рівняння в частинних похідних. У тривимірному просторі рівняння Лапласа записується так:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0

і є частковим випадком рівняння Гельмгольца.

У двовимірному просторі рівняння Лапласа записується:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}  = 0

Також і вn-вимірному просторі. У цьому випадку до нуля прирівнюється сума n других похідних. За допомогою диференціального оператора

\triangle = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} + ...

- оператора Лапласа - це рівняння записується (для будь-якої розмірності) однаково як \triangle u = 0

Інші форми рівняння Лапласа

В сферичних координатах \ (r,\theta,\varphi) рівняння має вигляд

{1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0

В полярних координатах r, φ рівняння має вигляд

\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial u}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial ^2 u}{\partial \phi ^2} = 0

Оператор Лапласа

Оператор Лапласа - диференціальний оператор, який діє в лінійному просторі гладких функцій, який позначають символом \ \Delta. Функції F\ він ставить у відповідність функцію \left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots  + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F.

Оператор Лапласа еквівалентний послідовному взяття операцій градієнта і дивергенції: \Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}, таким чином значення оператора Лапласа у точці може бути витлумачено як щільність джерел (стоків) потенційного векторного поля \ \operatorname{grad}F в цій точці. У декартовій системі координат оператор Лапласа часто позначається наступним чином \Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2, тобто у вигляді скалярного добутку оператора Набла на себе.

Вирази для оператора Лапласа у різних криволінійних системах координат

У довільних ортогональних криволінійних координатах в тривимірному просторі q_1,\ q_2,\ q_3:

\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =
=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) +  \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],
де H_i\  — коефіцієнти Ляме.

Циліндричні координати

У циліндричних координатах поза прямою \ r=0:

 \Delta f 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {\partial^2f \over \partial z^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

Сферичні координати

У сферичних координатах поза початком відліку (у тривимірному просторі):

 \Delta f 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

або

 \Delta f 
= {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2}
  \left( rf \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.

В випадку якщо \ f=f(r) в n-вимірному простррі:

 \Delta f =  {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.

Параболічні координати

В параболічних координатах (у тривимірному просторі) поза початком відліку:


\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} 
\left[
\frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} 
\left( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) +
\frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} 
\left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] +
\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Цилиндричні параболічні координати

В координатах параболічного циліндра поза початком відліку:

\Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}

Рівняння Беселя

x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0


Корисні посилання

Розв'язання рівняння Лапласа в середовищі Maple

Виконав: Чуйков Артем