Оператори набла та дельта. Градієнт, ротор та дивергенція в декартовій системі координат.

Дивергенція

• Дивергенція — скалярне поле, яке характеризує густину джерел даного векторного поля. Дивергенція показує продукується чи поглинається векторне поле в даній точці та визначає інтенсивність цих процесів. Так, наприклад, додатна дивергенція поля швидкостей сталого руху нестискуваної рідини характеризує інтенсивність джерел в даній точці, а від'ємна — інтенсивність стоків.

Якщо дивергенція поля дорівнює нулю, то джерел та стоків у цього поля не має. Таке поле називають соленоїдальним.

Визначення

Дивергенцією Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}\mathbf{F}

векторного поля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{F}
в точці називається границя відношення потоку векторного поля через замкнену поверхню Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): S

, що охоплює цю точку, до об'єму, обмеженому цією поверхнею, при прямуванні об'єму до нуля:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}\mathbf{F}=\lim_{V \to 0}\frac{\oint_{S}\mathbf{Fn}\,dS}{V}.

В декартових координатах, використовуючи формулу Остроградського, дивергенцію поля можна записати в наступному вигляді:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}=\nabla\mathbf{F},

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}

- оператор набла.

Властивості дивергенції

Загальні властивості дивергенції випливають з властивостей частинних похідних. Дивергенція є лінійним оператором. Тобто для будь-яких векторних полей Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{F} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{G}

та будь-яких чисел Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a

, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b

справедливий наступний вираз:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(a\mathbf{F}+b\mathbf{G})=a\,\operatorname{div}(\mathbf{F}) + b\,\operatorname{div}(\mathbf{G}).

• Справедливий наступний вираз для дивергенції добутку скалярного поля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \varphi

на векторне Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{F}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(\varphi\mathbf{F})=\operatorname{grad}(\varphi)\cdot\mathbf{F} + \varphi\,\operatorname{div}(\mathbf{F})

• Дивергенція поля, яке дорівнює векторному добутку двох полей, можна виразити через ротори кожного поля:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G})=\operatorname{rot}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot\operatorname{rot}(\mathbf{G}).

• Дивергенція від градієнта скалярного поля дорівнює лапласіану від цього поля:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(\operatorname{grad}(\varphi))=\mathcal{4}\varphi.

• Дивергенція ротора тотожньо дорівнює нулю:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \operatorname{div}(\operatorname{rot}(\mathbf{F}))=0.

Ротор

• Ротор дво- чи тривимірного векторного поля в математиці — вектор, координати якого визначаються визначником третього порядку, перший рядок якого – орти координатних осей, друга – оператори частинного диференціювання в такому ж порядку, як і орти осей, третя – координати функції, яка визначає векторне поле.

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{rot} \; \mathbf{A} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ A_x & A_y & A_z \end{matrix} \right| = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \mathbf{k}

З практичної точки зору ротор векторного поля характеризує обертальну здатність поля в даній точці: вона найбільша в даній точці саме в площині, перпендикулярній ротору.

Поле, для якого ротор в кожній точці є нульовим вектором, називають потенційним.

Градієнт

• Градієнт – міра зростання або спадання в просторі якоїсь фізичної величини на одиницю довжини.

Для позначення градієнта використовується оператор Гамільтона Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla .

Математичне формулювання

• Градієнт — векторна величина, яка визначає в кожній точці простору не лише швидкість зміни, а й напрямок найшвидшої зміни функції, що залежить від координат.

Для скалярного поля Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): U(x,u,z) \,

градієнт визначається формулою 

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla U = \frac{\partial U}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial U}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial U}{\partial z} \mathbf{k}

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{i} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{j} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{k}

- орт и системи відліку.

Це означення узагальнюється на простори будь-якої розмірності

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla U = \sum_i \frac{\partial U}{\partial x_i} \mathbf{e}_i

.

Приклади

Градієнт скалярного поля

Градієнт скалярного поля – вектор, проекціями якого на координатні осі є частинні похідні функції, яка описує дане поле. Практичне тлумачення полягає в тому, що він визначає напрям, у якому задане скалярне поле змінюється найшвидше.

Градієнт тиску

Градієнт тиску – втрата тиску на одиниці довжини шляху руху рідини (газу).

Градієнт метановості вугільних шахт

Градієнт метановості вугільних шахт – приріст середньої відносної газовості вугільних шахт при зануренні гірничих робіт в зону метанових газів. Здебільшого вимірюється в м³/т при заглибленні на 1 або 100 м.

Оператор набла

Визначення

Оператор набла (оператор Гамільтона) — векторний диференційовний оператор, познається символом Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla

(набла).

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)

Оператор Гамільтона використовують для позначення дивергенції,градієнта та ротора

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{div} \, \mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A},

де точка позначає скалярний добуток,

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{grad}\,U = \nabla U

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \text{rot} \, \mathbf{A} = \nabla \times \mathbf{A},

де символ × позначає векторний добуток.

Тут Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{A}

— будь-яке векторне поле.

Введений у вжиток ірландським математиком Вільямом Гамільтоном.

Для тривимірного евклідового простору в прямокутних декартових координатах В інших координатах оператор набла визначається наступним чином: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla={\partial\over\partial x}\vec{i}+{\partial\over\partial y}\vec{j}+{\partial\over\partial z}\vec{k} ,

где Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \vec i, \vec j, \vec k

— одиничні вектори по осям x, y, z.

Через оператор Набла природним способом виражаються основні операції векторного анализу: grad (градієнт), div (дивергенція), rot (ротор), а також оператор Лапласа. Широко використовується в описаному виді в физиці і математиці (хоч іноді графічниц символ Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla

використовується також для позначення деяких інших, хоча в деякому відношенні не зовсім далеких від розглянутого, математичних об'єктів, наприклад, коваріантність похідна).

Під n-вимірним оператором набла розуміють вектор з компонентами Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): {\partial\over\partial x_1},\;{\partial\over\partial x_2},\;\ldots,\;{\partial\over\partial x_n}

в n-вимірному просторі. Ця розмірністьn, тобто розмірність простору, на поля на (в) якому діє оператор, вказується явно або мається на увазі з формулювання відповідної теорії або завдання. 

Іноді, особливо при накресленні від руки, над оператором Набла малюють стрілку: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \vec \nabla

— щоб підкреслити векторний характер оператора. Зміст такого позначення нічим не відрізняється від звичайного Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \nabla

.

Іноді (особливо коли мова йде тільки про застосування до скалярних функцій), оператор Набла називаютьоператором градієнта, яким він в застосуванні до скалярних функцій (полів) і є.

Зауваження: у фізиці в наш час назва оператор Гамільтона по відношенню до оператора Набла намагаються не вживати, особливо у квантовій фізиці, щоб уникнути плутанини з квантовим Гамільтоніаном, яка має, на відміну від класичного, операторну природу.

Створила: Боєвець Олена Олегівна