Модифікації симплексного методу

Модифікації симплексного методу*
1. Двохетапний симплекс-метод. Проблеми зустрічаються тоді, коли штучні змінні є частиною початкового базисного розв’язку. Використання як М у цільовій функції дуже великих чисел може призвести до помилки округлення Розглянемо задачу

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \mathbf{maxF=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left\{ {\begin{array}{l} b_{1}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n} \\ b_{2}=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n} \\ ................................ \\ b_{m}=a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n} \\ x_{i,j}\ge 0 (j=1,2,...,n+m) \\ \end{array}} \right. . Процес розв’язування у два етапи.

На першому етапі розв’язується задача виду:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left\{ {\begin{array}{l} b_{1}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}+x_{n+1} \\ b_{2}=a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+...+a_{2n}x_{n}+x_{n+2} \\ ................................ \\ b_{m}=a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+...+a_{mn}x_{n}+x_{n+m} \\ x_{i,j}\ge 0 (j=1,2,...,n+m) \\ \end{array}} \right.

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{j}(J=n+1,...,n+m)

– штучні змінні. Перший етап характеризується використанням лише великих чисел як коефіцієнтів цільової функції. Очевидно значення цільової функції для оптимального плану буде Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{0}(X_{0})=0 

. Отже, при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{0}(X_{0})=0

початкова задача має допустимий базисний розв’язок, причому такий, що не містить штучних змінних. 

На другому етапі розв’язування задачі як початковий опорний план береться Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X_{0}

, і процес продовжується за звичайним алгорит¬мом симплексного методу.  На другому етапі задача не містить штучних змінних, отже, значення, що відповідають Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \pm M 
, не розглядаються.

Крім того, якщо на першому етапі розв’язання задачі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F_{0}(X_{0}) < 0

 , то це означає, що деякі зі штучних змінних додатні, тобто допустимих планів для початкової задачі не існує, її систе-ма обмежень несумісна, задача розв’язків не має. Отже, немає потреби переходити до другого етапу .

Двохетапний метод застосовують до задач, що вимагають операцій над дуже великими числами, які входять у цільову функцію.

2. Модифікований симплексний метод. Застосування методу виключення змінних Жордана—Гаусса для отримання послідовного ряду симплексних таблиць призводить до накопичення і поширення помилок округлення в такій мірі, що вони спотворюють початкові дані задачі. З метою зменшення впливу помилок округлення був розроб-лений модифікований симплексний метод. Основні етапи його алгоритму по суті такі ж, як і для симплексного методу. Головна відмінність полягає в тому, що для отримання послідовності симплексних таблиць у модифікованому симплексному методі не застосовується метод виключення змінних Жордана—Гаусса. Допустимо, що розглядається задача лінійного програмування, де базис утворюють останні Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): n+m

векторів, які позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  X_{2} 
а відповідні їм коефіцієнти цільової функції — через  Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  C_{2} 
Аналогічно перші n змінних позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  X_{1} 
, а відповідні коефіцієнти цільової функції — через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  C_{1} 

. . Коефіцієнти векторів Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X{1} . Х1 у системі обмежень утворюють матрицю А. Тоді схематично першу та останню симплексні таблиці можна подати у вигляді (табл.1):

                                                  Таблиця1

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B ^ {-1}

— матриця, обернена до одиничної, з першої симплексної таблиці. Як видно з наведеної табл. 2.11, вся симплексна таблиця сформована шляхом використання початкових даних (матриця А) та обернення поточного базису Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  B ^ {-1} 
. Отже, в обчислювальних процедурах модифікованого симплексного методу головна увага зосереджена на мінімізації помилок округлення при обчисленні матриці Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  B ^ {-1} 
Модифікованим симплексним методом можна скористатись також для зменшення кількості операцій множення.
                                                           
                                                       Приклад

Посилання http://www.semestr.ru/ks839.html
</br>