Дві леми двоїстості

Лема 3.1(основна нерівність теорії двоїстості).

Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X=(x_1,x_2,\ldots,x_n)

та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y=(y_1,y_2,\ldots,y_m)

— допустимі розв’язки
відповідно прямої та двоїстої задач, то виконується нерівність:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(X) \le Z(Y)

або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{j=1}^n c_j x_j \le \sum_{i=1}^m b_i y_i  .

(3.7)

Доведення.Помножимо кожне рівняння системи (3.2) на відповідну змінну двоїстої задачі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left\{ {\begin{array}{l} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \ldots + a_{1n} x_n \le b_1; y_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \ldots+ a_{2n} x_n \le b_2; y_2 \\ ................................ \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \ldots + a_{mn} x_n \le b_m; y_m \\ \end{array}} \right.

Маємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left\{ {\begin{array}{l} a_{11} x_1 y_1 + a_{21} x_2 y_1 + \ldots + a_{1n} x_n y_1 \le b_1 y_1 \\ a_{21} x_1 y_2 + a_{22} x_2 y_2 + \ldots+ a_{2n} x_n y_2 \le b_2 y_2 \\ ................................ \\ a_{m1} x_1 y_m + a_{m2} x_2 y_m + \ldots + a_{mn} x_n y_m \le b_m y_m \\ \end{array}} \right.

Підсумувавши праві і ліві частини нерівностей, отримаємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{i=1}^m y_i (\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j) \le \sum_{i=1}^m b_i y_i (3.8)

Аналогічно перетворимо систему обмежень (3.5) двоїстої задачі:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left\{ {\begin{array}{l} a_{11} y_1 + a_{21} y_2 + \ldots + a_{m1} y_m \ge c_1; x_1 \\ a_{12} y_1 + a_{22} y_2 + \ldots + a_{m2} y_m \ge c_2; x_2 \\ ................................ \\ a_{1n} y_1 + a_{2n} y_2 + \ldots + a_{mn} y_m \ge c_n; x_n \\ \end{array}} \right.

Підсумувавши після множення тут також ліві та праві части-ни, отримаємо нерівність:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{j=1}^n x_j (\sum_{i=1}^m a_{ij} y_i) \ge \sum_{j=1}^n c_j x_j (3.9)

Ліві частини нерівностей (3.8) та (3.9) збігаються, отже:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum_{j=1}^n c_j x_j \le \sum_{j=1}^n x_j (\sum_{i=1}^m a_{ij} y_i) = \sum_{i=1}^m y_i (\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j) \le \sum_{i=1}^m b_i y_i .

Нерівність (3.7) доведено.

Лема 3.2(достатня умова оптимальності).

Якщо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X^{*}=(x_1^*,x_2^*,\ldots,x_n^*)

та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^{*}=(y_1^*,y_2^*,\ldots,y_m^*)

— допустимі розв’язки
відповідно прямої та двоїстої задач, то виконується нерівність:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(X^{*}) = Z(Y^{*}) (3.10)

то Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X^{*},Y^{*}

— оптимальні розв’язки відповідних задач.

Доведення. Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X_1

— допустимий план прямої задачі (3.1)—(3.3). Тоді на підставі нерівності (3.7) маємо:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(X_1) \le Z(Y^{*}).

За умовою задачі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(X^{*})=Z(Y^{*})

, отже

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): F(X_1) \le Z(Y^{*}) = F(X^{*}). (3.11)

Оскільки за допущенням Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X_1

— довільний допустимий план прямої задачі, то нерівність (3.11) виконується для будь-якого з можливих розв’язків. Отже, маємо, що при Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X^{*}

цільова функція (3.1) набирає найбільшого значення, тобто є оптимальним розв’язком початкової задачі.
В аналогічний спосіб доводиться, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): Y^{*}

— оптимальний план двоїстої задачі.

Література

Математичне програмування -Третя теорема двоїстості.Економічний зміст третьої теореми двоїстості.- Наконечний С.І.