Градієнт, ротор, дивергенція в довільній криволінійній системі координат. Коефіцієнт Ляме

Нехай:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x=x(q_1,q_2,q_3)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): y=y(q_1,q_2,q_3)

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): z=z(q_1,q_2,q_3)

Для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): q_1\perp{q_2}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \frac{\partial{x}}{\partial{q_1}}\frac{\partial{x}}{\partial{q_2}}+\frac{\partial{y}}{\partial{q_1}}\frac{\partial{y}}{\partial{q_2}}+\frac{\partial{z}}{\partial{q_1}}\frac{\partial{z}}{\partial{q_2}}=0

Для Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): q_1\perp{q_3} ,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): q_2\perp{q_3}

- аналогічно.

Коефіцієнти Ляме

В Декартовій системі координат:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ds^2=dx^2 +dy^2 +dz^2

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dx=\frac{\partial x}{\partial q_1} dq_1+\frac{\partial x}{\partial q_2} dq_2+\frac{\partial x}{\partial q_3} dq_3

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dy=\frac{\partial y}{\partial q_1} dq_1+\frac{\partial y}{\partial q_2} dq_2+\frac{\partial y}{\partial q_3} dq_3

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): dz=\frac{\partial z}{\partial q_1} dq_1+\frac{\partial z}{\partial q_2} dq_2+\frac{\partial z}{\partial q_3} dq_3

Піднесемо до квадрату і додамо.

Враховуючи ортогональність системи координат, подвоєні добутки згрупуються в суми рівні 0, і таким чином сума квадратів:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ds=[(\frac{\partial x}{\partial q_1})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_1})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_1})^2]{dq_1}^2 +[(\frac{\partial x}{\partial q_2})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_2})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_2})^2]{dq_2}^2 +[(\frac{\partial x}{\partial q_3})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_3})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_3})^2]{dq_3}^2

де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [(\frac{\partial x}{\partial q_1})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_1})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_1})^2] , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [(\frac{\partial x}{\partial q_2})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_2})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_2})^2] , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): [(\frac{\partial x}{\partial q_3})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_3})^2 +(\frac{\partial z}{\partial q_3})^2]

- коефіцієнти Ляме

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_i=\sqrt{(\frac{\partial x}{\partial q_i})^2 +(\frac{\partial y}{\partial q_i})^2 =(\frac{\partial z}{\partial q_i})^2} , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): i=1,2,3

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ds^2=H_1^2 dq_1^2 +H_2^2 dq_2^2 +H_3^2 dq_3^2

Розглянемо приріст дуги координатної кривої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): ds_i^2=H_i^2 dq_i^2, i=1,2,3

Коефіцієнт Ляме Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_i=\frac{ds_i}{dq_i} - швидкість зміни дуги координатної кривої при зміні її координат.

В Декартовій системі координат:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_1=1 , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_2=1 , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_3=1

В циліндричній системі координат:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_\rho=1 ,Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_\varphi=\rho , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_z=1

В сферичній системі координат:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_r=1 , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_\theta=r , Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): H_\varphi=r\sin\theta

Градієнт, ротор, дивергенція

Нехай є довільна система Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (q_1,q_2,q_3)

і є одиничні вектори Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}

, Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \vec{a} =(a_{q_1},a_{q_2},a_{q_3})

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): grad\varphi=\frac{1}{H_1} \frac{\partial\varphi}{\partial q_1}\vec{e_1} +\frac{1}{H_2} \frac{\partial\varphi}{\partial q_2}\vec{e_2} +\frac{1}{H_3} \frac{\partial\varphi}{\partial q_3}\vec{e_3}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): div\vec{a}=\frac{1}{H_1 H_2 H_3}[\frac{\partial(H_2 H_3 a_{q_1})}{\partial q_1} +\frac{\partial(H_1 H_3 a_{q_2})}{\partial q_2} +\frac{\partial(H_1 H_2 a_{q_3})}{\partial q_3}]

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): rot\vec{a}=\frac{1}{H_2 H_3}[\frac{\partial(a_{q_3}H_3)}{\partial q_2} -\frac{\partial(a_{q_2}H_2)}{\partial q_3}]\vec{e_1} +\frac{1}{H_3 H_1}[\frac{\partial(a_{q_1}H_1)}{\partial q_3} -\frac{\partial(a_{q_3}H_3)}{\partial q_1}]\vec{e_2} +\frac{1}{H_1 H_2}[\frac{\partial(a_{q_2}H_2)}{\partial q_1} -\frac{\partial(a_{q_1}H_1)}{\partial q_2}]\vec{e_3}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \Delta=\vec{\nabla}^2=\frac{1}{H_1 H_2 H_3}[\frac{\partial}{\partial q_1}(\frac{H_2 H_3}{H_1} \frac{\partial}{\partial q_1}) +\frac{\partial}{\partial q_2}(\frac{H_1 H_3}{H_2} \frac{\partial}{\partial q_2}) +\frac{\partial}{\partial q_3}(\frac{H_1 H_2}{H_3} \frac{\partial}{\partial q_3})]

Виконав: Товсултанов Стас