Відмінності між версіями «Економічна і математична постановка ТЗ.»

Матеріал з Вікі ЦДУ
Перейти до: навігація, пошук
 
(не показано 28 проміжних версій цього учасника)
Рядок 1: Рядок 1:
Класична транспортна задача лінійного програмування фор-мулюється так: деякий однорідний продукт, що знаходиться у m постачальників Аі в обсягах <math>a_{1} ,a_{2} ,...,a_{m}</math> одиниць відповідно необ-хідно перевезти n споживачам Bj в обсягах <math>b_{1} ,b_{2} ,...,b_{n}</math> одиниць. При цьому виконується умова, що загальний наявний обсяг про-дукції у постачальників дорівнює загальному попиту всіх спожи-вачів. Відомі вартості Cij перевезень одиниці продукції від кож-ного Аі-го постачальника до кожного Вj-го споживача, що подані як елементи матриці виду:
+
Класична транспортна задача лінійного програмування фор-мулюється так: деякий однорідний продукт, що знаходиться у m постачальників <math>A_{i}</math> в обсягах <math>a_{1} ,a_{2} ,...,a_{m}</math> одиниць відповідно необ-хідно перевезти n споживачам <math>B_{j}</math> в обсягах <math>b_{1} ,b_{2} ,...,b_{n}</math> одиниць. При цьому виконується умова, що загальний наявний обсяг про-дукції у постачальників дорівнює загальному попиту всіх спожи-вачів. Відомі вартості <math>C_{ij}</math> перевезень одиниці продукції від кож-ного <math>A_{i}</math>-го постачальника до кожного <math>B_{j}</math>-го споживача, що подані як елементи матриці виду:
<math>c_{ij} =\left( {{\begin{array}{*{20}c}
+
[[Файл:Безымяннывй.JPG]]
{c_{11} } \hfill & {c_{12} } \hfill & \cdots \hfill & {c_{1n} } \hfill \\
+
 
{c_{21} } \hfill & {c_{22} } \hfill & \cdots \hfill & {c_{2n} } \hfill \\
+
Необхідно визначити план перевезень, за якого вся продукція була б вивезена від постачальників, повністю задоволені потреби споживачів і загальна вартість всіх перевезень була б мінімаль-ною.
. \hfill & . \hfill & . \hfill & . \hfill \\
+
У такій постановці задачі ефективність плану перевезень ви-значається його вартістю і така задача має назву транспортної задачі за критерієм вартості перевезень.
{c_{m1} } \hfill & {c_{m2} } \hfill & \cdots \hfill & {c_{mn} } \hfill \\
+
 
\end{array} }} \right)</math>
+
Позначимо через  <math>x_{ij}</math> обсяг продукції, що перевозиться від <math>A_{i}</math> постачальника до <math>B_{j}</math> споживача <math>(i=\overline {1,m} ;\,\,j=\overline {1,n} )</math>
 +
 
 +
                [[Файл:Безымянwqный.JPG]]
 +
 
 +
Мають виконуватися такі умови:
 +
 
 +
    1) сумарний обсяг продукції, що вивозиться з кожного і-го пункту, має дорівнювати запасу продукції в даному пункті:
 +
             
 +
[[Файл:Безымянsddfsfный.JPG]]
 +
 
 +
    2) сумарний обсяг продукції, що ввезений кожному j-му спо-живачеві, має дорівнювати його потребам:
 +
 
 +
[[Файл:Копия Безымяwнsddfsfный.JPG]]
 +
 
 +
    3) сумарна вартість всіх перевезень повинна бути мінімаль-ною:
 +
 
 +
[[Файл:Безымянныйddddd.JPG]]
 +
 
 +
 
 +
Очевидно, що <math>x_{ij} \ge 0,\,\;\,i=\overline {1,m} ;\;\,\,j=\overline {1,n}</math>
 +
 
 +
У скороченій формі запису математична модель транспортної за-дачі за критерієм вартості перевезень має такий вигляд:
 +
 
 +
            <math>\min F=\sum\limits_{i=1}^m {\sum\limits_{j=1}^n {c_{ij} x_{ij} } }</math>                          (1)
 +
 
 +
за обмежень:
 +
 
 +
            <math>\sum\limits_{j=1}^n {x_{ij} =a_{i} } \,\,\,\left( {i=\overline {1,m} }  
 +
\right)
 +
</math>                        (2)
 +
 
 +
            <math>\sum\limits_{j=1}^n {x_{ij} =b_{j} } \,\,\,\left( {i=\overline {1,n} }  
 +
\right)
 +
</math>                        (3)
 +
 
 +
            <math>x_{ij} \ge 0\,\,\,\,\left( {i=\overline {1,m} ;\,\,\,j=\overline {1,n} }
 +
\right)
 +
</math>                  (4)
 +
 
 +
У розглянутій задачі має виконуватися умова:
 +
           
 +
            <math>\sum\limits_{i=1}^m {a_{i} } =\sum\limits_{j=1}^n {b_{j} }</math>                                  (5)
 +
 
 +
Транспортну задачу називають збалансованою, або закри-тою, якщо виконується умова (5). Якщо ж така умова не вико-нується, то транспортну задачу називають незбалансованою, або відкритою.
 +
 
 +
Домовимося планом транспортної задачі називати будь-який невід’ємний розв’язок системи обмежень (2)—(4), який позначають матрицею <math>X=x_{ij}</math> <math>\left( {i=\overline {1,m} ;\,\,\,j=\overline {1,n} } \right)</math>. Значення невідомих величин <math>x_{ij}</math>  — обсяги продукції, що мають бути перевезені від i-х постачальників до j-х споживачів, називатимемо перевезеннями.
 +
 
 +
Оптимальним планом транспортної задачі називають матри-цю <math>X^{\ast }=x_{ij}^{\ast }</math> <math>\left( {i=\overline {1,m} ;\,\,\,j=\overline {1,n} } \right)</math>, яка задовольняє умови задачі, і для якої цільова функція (1) набирає найменшого значення.

Поточна версія на 15:08, 16 травня 2012

Класична транспортна задача лінійного програмування фор-мулюється так: деякий однорідний продукт, що знаходиться у m постачальників Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A_{i}

в обсягах Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{1} ,a_{2} ,...,a_{m}
одиниць відповідно необ-хідно перевезти n споживачам Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B_{j}
в обсягах Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b_{1} ,b_{2} ,...,b_{n}
одиниць. При цьому виконується умова, що загальний наявний обсяг про-дукції у постачальників дорівнює загальному попиту всіх спожи-вачів. Відомі вартості Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): C_{ij}
перевезень одиниці продукції від кож-ного Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A_{i}

-го постачальника до кожного Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B_{j} -го споживача, що подані як елементи матриці виду: Безымяннывй.JPG

Необхідно визначити план перевезень, за якого вся продукція була б вивезена від постачальників, повністю задоволені потреби споживачів і загальна вартість всіх перевезень була б мінімаль-ною. У такій постановці задачі ефективність плану перевезень ви-значається його вартістю і така задача має назву транспортної задачі за критерієм вартості перевезень.

Позначимо через Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{ij}

обсяг продукції, що перевозиться від Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): A_{i}
постачальника до Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): B_{j}
споживача Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (i=\overline {1,m} ;\,\,j=\overline {1,n} )


               Безымянwqный.JPG

Мають виконуватися такі умови:

    1)	сумарний обсяг продукції, що вивозиться з кожного і-го пункту, має дорівнювати запасу продукції в даному пункті:
              

Безымянsddfsfный.JPG

    2)	сумарний обсяг продукції, що ввезений кожному j-му спо-живачеві, має дорівнювати його потребам:

Копия Безымяwнsddfsfный.JPG

    3)	сумарна вартість всіх перевезень повинна бути мінімаль-ною:

Безымянныйddddd.JPG


Очевидно, що Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{ij} \ge 0,\,\;\,i=\overline {1,m} ;\;\,\,j=\overline {1,n}


У скороченій формі запису математична модель транспортної за-дачі за критерієм вартості перевезень має такий вигляд:

           Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \min F=\sum\limits_{i=1}^m {\sum\limits_{j=1}^n {c_{ij} x_{ij} } }
                         (1)

за обмежень:

           Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum\limits_{j=1}^n {x_{ij} =a_{i} } \,\,\,\left( {i=\overline {1,m} }  \right) 
                       (2)
           Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum\limits_{j=1}^n {x_{ij} =b_{j} } \,\,\,\left( {i=\overline {1,n} }  \right) 
                        (3)
           Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{ij} \ge 0\,\,\,\,\left( {i=\overline {1,m} ;\,\,\,j=\overline {1,n} }  \right) 
                 (4)

У розглянутій задачі має виконуватися умова:

           Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \sum\limits_{i=1}^m {a_{i} } =\sum\limits_{j=1}^n {b_{j} }
                                  (5)

Транспортну задачу називають збалансованою, або закри-тою, якщо виконується умова (5). Якщо ж така умова не вико-нується, то транспортну задачу називають незбалансованою, або відкритою.

Домовимося планом транспортної задачі називати будь-який невід’ємний розв’язок системи обмежень (2)—(4), який позначають матрицею Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X=x_{ij}

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left( {i=\overline {1,m} ;\,\,\,j=\overline {1,n} } \right)

. Значення невідомих величин Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{ij}

 — обсяги продукції, що мають бути перевезені від i-х постачальників до j-х споживачів, називатимемо перевезеннями.

Оптимальним планом транспортної задачі називають матри-цю Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X^{\ast }=x_{ij}^{\ast }

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left( {i=\overline {1,m} ;\,\,\,j=\overline {1,n} } \right)

, яка задовольняє умови задачі, і для якої цільова функція (1) набирає найменшого значення.