Графічний метод для задач ЛП N-вимірного простору при N більше 3

Розв'язувати графічним методом можна також задачі лінійного програмування n-вимірного простору, де n>3 , якщо при зведенні системи нерівностей задачі до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних кількість змінних n на дві більша, ніж число обмежень m, тобто n-m=2.

Тоді, як відомо з курсу вищої математики, можна дві з n змінних, наприклад Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): X_1

та Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  X_2 

, вибрати як вільні, а інші m зробити базисними і виразити через вільні. Припустимо, що це зроблено. Отримаємо n-m=2 рівнянь вигляду:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \left\{ {\begin{array}{l} x_{3}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{11}x_{1 \\ x_{4}=a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{11}x_{1 \\ ................................ \\ x_{n}=a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\beta_{n} \\ \end{array}} \right.

Оскільки всі значення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{i} \ge 0\;\,\,\,(i=\overline {1,n} )

то мають виконуватись умови:

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{1}\ge 0,x_{2}\ge 0, \left\{ {\begin{array}{l} x_{3}=a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+\beta_{3}\ge 0 \\ x_{4}=a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+\beta_{4}\ge 0 \\ ................................ \\ x_{n}=a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\beta_{n}\ge 0 \\ \end{array}}(2.19.1) \right.

Розглянемо, як можна зобразити ці умови геометрично. Візьмемо, наприклад, першу з них: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{3}=a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+\beta_{3}\ge 0

Узявши величину Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{3}

рівною своєму крайньому значенню — нулю, отримаємо рівняння: Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+\beta_{3}=0.

Це рівняння прямої. Для такої прямої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{3}=0

, по одну сторону від неї Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{3}>0
, а по другу — Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{3}<0

. Відмітимо ту сторону прямої Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+\beta_{3}=0

, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_{3}<0

.