Геометрична інтерпретація задачі лінійного програмування. Графічний метод розв’язування задач лінійного програмування

Геометрична інтерпретація задач лінійного програмування

Для розуміння всього в подальшого корисно знати і уявляти собі геометричну інтерпретацію завдань лінійного програмування, яку можна дати для випадків Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ n = 2

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \ n = 3 

.

Найбільш наочна ця інтерпретація для випадку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ n = 2 , тобто для випадку двох змінних і. Нехай нам задана задача лінійного програмування в стандартній формі

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): c_1x_1+c_2x_2 \rArr max

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{11}x_1+a_{12}x_2 \le b_1

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{21}x_1+a_{22}x_2 \le b_2

......

Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 \le b_m

Візьмемо на площині декартову систему координат і кожній парі чисел поставимо у відповідність точку на цій площині.

Звернемо насамперед увагу на обмеження Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_1 \ge 0

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_2 \ge 0
. Вони з усієї площині вирізають лише її першу чверть (див. рис. 1). Розглянемо тепер, які області відповідають нерівностям виду Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_1x_1+a_2x_2 \ =b

. Спочатку розглянемо область, відповідну рівності Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_1x_1+a_2x_2 \le =b . Як ви, звичайно, знаєте, це пряма лінія. Будувати її простіше всього по двом точкам.

Нехай Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): b \ne 0

. Якщо взяти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \ x_1
, то вийде Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_2=\frac ba_2
 . Якщо взяти Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \ x_2
, то вийде Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): x_1=\frac ba_1
. Таким чином, на прямий лежать дві точки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):   ( 0, \frac ba_2 )
і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):   ( \frac ba_1, 0 )

. Далі через ці дві точки можна по лінійці провести пряму лінію (дивися рисунок 2).

Якщо ж Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ b = 0 , то на прямий лежить точка Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ (0,0) . Щоб знайти іншу точку, можна взяти будь-яке відмінне від нуля значення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_1

і обчислити відповідне йому значення Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \ x_2 

.

Ця побудована пряма розбиває всю площину на дві півплощини. В одній її частині Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_1x_1+a_2x_2 \ < b , а в інший навпаки Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): a_1x_1+a_2x_2 \ > b . Дізнатися, якою напівплощини який знак має місце найпростіше подивившись, якому нерівності задовольняє якась точка площині, наприклад, початок координат, тобто точка Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ (0,0) .

Приклад 1

Визначити півплощину, яка визначається нерівністю Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 4x_1 - 6x_2 \le3 .

Розв'зок:

Спочатку будуємо пряму Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_1 - 6x_2 = 3. Вважаючи Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_1 = 0

отримаємо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \ -6x_1 = 3  
або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  x_2= \frac{-1}2 

. Вважаючі Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ x_1 = 0

отримаємо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  \ -4x_1 = 3 
 або Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  x_2= \frac34 

. Таким чином, наша пряма проходить через точку Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): (0, \frac-12 )

і Неможливо розібрати вираз (невідома помилка):  (\frac34, 0 ) 
(див.рис.3)

Тепер подивимось, в якій півплощині точка Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ (0,0) . Маємо Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): \ 4*0-6*0<3 , де початок координат належить півплощині, де Неможливо розібрати вираз (невідома помилка): 4x_1 - 6x_2 \le3 . Тим самим визначилася і потрібна нам півплощина (див. рис. 3).

Повернемося тепер до задачі лінійного програмування. Там мають місце m нерівностей